Arquivo de etiquetas: teoria de números

Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #4)

Os três primeiros posts foram um tanto secos. Uma mão de conceitos foi introduzida. Neste post, vamos então, à luz do que já sabemos teoricamente sobre estas definições e estruturas, debruçarmo-nos sobre um pouco mais de história: para uma teoria ser tão abstracta, é preciso ir aprimorando intuição em bases rigorosas de pensamento  e notação.

Um pouco de História

Disfarçadamente, vários problemas em Matemática já eram trabalhados com o que mais tarde viria a ser esta estrutura algébrica conhecida como anéis. Muito do trabalho que foi feito, há um bom par de séculos, estava no domínio de anéis comutativos. Estes são mais fáceis de entender. A maior parte do desenvolvimento de anéis não comutativos gerou-se no século passado.

O Último Teorema de Fermat

Pierre de Fermat, infame matemático e advogado, conjecturou em 1637 o seu “último teorema” (0)

Um exemplo típico que inspirou a introdução da teoria foi o Último Teorema de Fermat. Este problema, como é sobejamente conhecido por quem vê documentários de promoção científica, foi um dos problemas mais difíceis de resolver e demorou 358 anos a obter resposta – foi conjecturado em 1637. Fermat não era um matemático profissional e muito menos rigoroso – pelo menos na nossa acepção actual. Não passou de uma conjectura, sem qualquer tipo de demonstração. O problema foi resolvido em 1995 por Andrew Wiles, um matemático inglês que basicamente dedicou toda a sua vida ao problema. E digo isto literalmente.

Teorema 1: (Último Teorema de Fermat)

Considere-se a igualdade a^{n} + b^{n} = c^{n}, com a, b, c \in Z^{+} e n \in N. Então a igualdade nunca é satisfeita para n > 2

Em 1847, Lamé afurmou ter chegado a uma solução do Teorema. O problema era que a demonstração dependia na decomposição única de inteiros em primos – este facto foi notado por Liouville. (2) Sem demonstração, a intuição entra em jogo. Liouville achava que tal facto seria bastante improvável. Já Cauchy apoiava Lamé. No entanto, Kummer publicou em 1844 o primeiro exemplo em que a decomposição prima única falhava. A unicidade era válido em certos números – que ele chamou de números complexos ideais , hoje designados de ideais. Com isso provou o Teorema para n < 100, excepto n = 37, \ 59, \ 67, \ 74.

O nascimento da teoria

O grande David Hilbert

Richard Dedekind abstraiu o conceito e introduziu “números ideais” – os nossos ideais (3). Em 1882, Dedeking e Weber tinham já estabelecido a teoria de anéis de polinómios. Dedekind também cunhou o termo “corpo” para um anél comutativo em que todo o elemento que não seja 0 tenha uma inversa multiplicativa.

Foi David Hilbert, no entanto, que cunhou o termo anel, motivado por teoria de invariantes.

No entanto, foi Emmy Noether (4) que, 30 anos mais tarde, construiu a teoria axiomática de anéis. Em 1921, nesta perspectiva abstracta, Noether conseguiu unificar anéis de polinómios e anéis de números – são conceptualmente semelhantes! Noether tem também os seus anéis: anéis Noetherianos (5)

Wedderburn, em 1905, provou o seu teorema: que todo o anél de divisão finito é comutativo e portanto um corpo.

Anéis comutativos vs anéis não comutativos

Devido à propriedade comutativa da multiplicação de números reais e complexos, assim como da multiplicação de polinómios, o estudo da teoria de anéis comutativos foi desenvolvida pela força da Teoria de Números e mais tarde Geometria Algébrica e Teoria de Números Algébrica. O estudo de anéis comutativos é muito mais extensiva que os não comutativos e é hoje denominada de Algebra Comutativa.

A teoria de anéis não comutativos começou com uma ideia de Hamilton: de generalizar o conceito de número complexos para uma algebra tri-dimensional. (6) Demorou bastante tempo para perceber, mas ele chegou à conclusão que tal sistema não podia ser consistente, em 1843. A solução era generalizar para uma álgebra quadri-dimensional. O preço a pagar era alto no entanto: Hamilton fundou o primeiro sistema númerico onde a propriedade comutativa não é verificada geralmente. Este sistema já foi brevemente discutido: são os Quaterniões do post passado!

Outro exemplo de anéis não comutativos nasceu das matrizes, por volta desta altura também (1850), criadas por Cayley, um guru de análise matricial. Em 1870, Pierce apercebeu-se que os nossos axiomas modernos de anéis eram verificados em matrizes quadradas. Este facto vai ser rigorosamente provado nos próximos posts.

Nos anos 30, as teorias de anéis comutativos e não comutativos finalmente foram unificadas e a percepção conceptual da área tornou-se a que hoje temos.

________________

(0) Fermat, sobre o seu “último teorema”: “Mas é impossível dividir um cubo em dois cubo, ou uma potência de 4 em potências de quatro, ou geralmente qualquer potência a partir do quadrado em potências semelhantes. Encontrei uma demonstração surpreendente disto. Esta margem é muito estreita para a mostrar” Fermat conjectura e diz ter a solução. Passados quase 400 anos, Andrew Wiles, usando um teorema de modularidade para curvas elipticas semi-estáveis, Teve de provar muitos resultados intermédios para lá chegar. A sua lógica foi completamente heterodóxica. Formas modulares e curva elípticas não tem aparentemente nada em comum mas Wiles usou Álgebra Abstracta para construir homomorfismos entre a representação de Galois das curvas elípticas às formas modulares. A sua prova tem mais de 100 páginas e, em 1994, muito pouca gente em todo o Universo poderia perceber tal nível de lógica. Escusado será dizer que Fermat ou não tinha demonstração ou a sua estava errada.
(1) Z^{+} corresponde a todos os inteiros positivos

(2) Liouville é mais conhecido pelo seu teorema em Análise Complexa – e é usado na demonstração do nada singelo resultado de que os complexos são um corpo algébrico fechado. Mais aqui

(3) Que havemos de estudar num post brevemente!

(4) Como eu a vejo, a Marie Curie da Matemática! Mais aqui

(5) Anéis Noetherianos aqui

(6) Em geral, pode-se compreender a generalização de um número como um hipercomplexo. Um número hipercomplexo resulta de algebras sobre os corpos dos reais ou dos complexos. Exemplos incluem os quaterniões, biquaterniões, octoniões ou sedeniões.

Anúncios