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Teoria de Representações de Grupos (Post #4)

Com a ideia assente do que uma representação “tenta” alcançar, sabemos que certos mapas que preservam a estrutura para conjuntos de matrizes tal que a sua operação represente a mesma operação binária no grupo. É a translação do conceito abstracto de grupo para o conceito computacional de cálculo matricial. De facto a maior parte desta área é destinada a executar a mesma acção: teoria é criada de maneira que se prove uma relação 1-1, ou seja, uma bijecção entre os objectos criados e outro objecto. Por exemplo, de Álgebra Linear sabemos que um operador linear num espaço vectorial pode ser sempre mapeado para uma matriz invertível. Uma vez que se saiba sobre tal relação, os dois conceitos podem ser usados como se do mesmo se tratassem. É esta a proposta. De qualquer forma, o que aprendemos com o facto de que as representações podem ser agrupadas em classes de equivalência no espaço de todas as representações possíveis para um dado grupo?

Grupos podem ser entendidos pelo estudo das suas representações

É óbvio que existem infinitas representações para um grupo G. Toma como exemplo a representação trivial g \mapsto \rho(g) = I_{n}. É óbvio que tal construção é sempre uma representação \forall n \in \mathbb{N}_{0}. A questão é se o conjunto de classes de equivalência são finitos ou infinitos. Denotemos, para um grupo G, o seu conjunto Rep_{n}(G) := \{ representações G \rightarrow GL(n, \mathbb{C} \} e Rep(G) := \sqcup_{i=0}^{\infty} Rep_{i}(G).

Sabe-se e pode-se provar que se |G| < \infty (G é finito), então para um dado n fixo o seu (grupo) quociente \frac{G}{R} (onde R representa uma relação de equivalência) é igualmente finito.

Talvez seja vantajoso exemplificar: vamos classificar todas as representações e as suas classes de equivalência: ou seja, calcular o quociente \frac{G}{R} para grupos cíclicos.

Proposição 1: (Representações e suas equivalências para grupos cíclicos)

Considera um grupo cíclico finito G= <g> = \{1,g,g^{2},...,g^{r-1} \cong \mathbb{Z}_{r} de ordem r. Seja $A \in GL(n, \mathbb{C})$ uma matriz invertível satisfazendo a identidade A^{r}=1.

  • Então existe uma representação única \rho_{A}: \mathbb{Z}_{r} \rightarrow GL(n, \mathbb{C}) tal que \rho_{A}(g) = A, que trivialmente satisfaz \rho_{A} (g^{k}) = A^{k}.
  • Mais ainda, qualquer representação de $G$ é equivalente a uma representação da forma \rho(A).
  • Se X, Y \in GL(n, \mathbb{C}), então \rho_{A} = \rho_{B} se e só se A, B forem conjugadas em GL(n, \mathbb{C}).

Estas representações são completamente derivadas ad hoc. A ideia é de generalizar a teoria e encontrar as ferramentas certas para classificar e estudar representações de grupos em geral.

A ideia geradores e relações

Existem grupos com uma particularidade incrível: todos os elementos do conjunto podem ser criados por “combinações de potências”. O exemplo mais básico de um grupo que é gerado vem de um grupo cíclio, em que existe apenas um elemento no conjunto que gera: Isto quer dizer que todos os elementos podem ser escritos como g^{k} para qualquer k \in \mathbb{Z}. No entanto, existem grupos onde um elemento não chega.

Um exemplo típico é o Grupo Diedral. Este grupo (denotado \mathcal{D}_{2n} ) representa todas as simetrias possíveis num polígono regular de n lados. Por exemplo, as simetrias de um quadrado, na série em Teoria de Grupos, formam o grupo \mathcal{D}_{8}.

Repara como todos os elementos podem ser escritos como uma combinação de potências de a b, dois elementos do grupo. O conjunto \{a,b \} gera o grupo

Geometricamente, torna-se fácil entender o porquê de a e b gerarem o grupo: a trata-se de uma rotação e b de uma reflexão. É óbvio que qualquer simetria no quadro corresponde a múltiplas rotações e reflexões. Simplificando muitas expressões da forma a^{k}b^{l} vai dar sempre um elemento dos mostrados na imagem.

Uma maneira inteligente de definir o grupo diedral \mathcal{D}_{2n} mais abstractamente é de o associar com o conjunto D de mapas \phi : \frac{ \mathbb{Z}}{n} \rightarrow \frac{\mathbb{Z}}{n} = \mathbb{Z}_{n} da forma x \mapsto ax+b, com a \in \{1,-1\} e b \in \mathbb{Z}_{n}. A completude é fácil de ser mostrada, por este formalismo!

Repara que D é claramente não-vazio (contém a bijecção g \mapsto g (repara que o domínio e o codomínio são o mesmo espaço! ). Toma então p(x), q(x) \in D, tal que p(x) = ax+b e q(x) = cx+d com com a,c \in \{1,-1\} e b,d \in \mathbb{Z}_{n}e constrói o elemento p(x) \cdot q(x) = p(q(x)) = a(cx+d)+b = (ac)x + (ad+b). Como o  conjunto \{-1,1 \} forma um grupo (com multiplicação escalar) , ac \in \{1,-1\}. Pelo mesmo raciocínio, ad+b \in \mathbb{Z}_{n} e então p(x) \cdot q(x) \in D.

Podemos então dizer que o grupo diedral de ordem 2n, \mathcal{D}_{n} é um grupo G = \{ r^{k}, sr^{k} | 0 \leq k < n \}.  Aqui r = r(x) = x + b (uma rotação) e s=s(x) = -x + b (uma reflexão). Podíamos ser ainda mais ambiciosos e afirmar que se um grupo G for gerado por dois elementos r,s então é diedral.

A generalização parece ser óbvia: dado um conjunto A \subset G, com |A| = k, define-se que A gera G se \forall g \in G g= a_{1}^{d_{1}}a_{2}^{d_{2}}...a_{i}^{d_{i}}...a_{k}^{d_{k}}, com a_{i} \in G e d_{i} \in \{-1,1\}. Tudo o que esta definição diz é que existe sempre (pelo menos) uma combinação de vários elementos de A e as suas inversas. No próximo post vamos poder provar que este tipo de construção via “produtos de vários elementos e inversas” é sempre igual a um outro tipo de operação, mais básica – chamada subgrupo gerado por A em G (denotado por <A>. Este tipo de construção (multiplicação de elementos em A e suas inversas) é chamada de palavra, se bem que uma palavra pode ser definida mais abstractamente, necessitando apenas de um conjunto (não precisa de estrutura, como um grupo). Mais para próximos posts!

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