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Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #3)

Depois desta digressão sobre corpos, que já é familiar de Álgebra Linear, vamos familizar-nos com alguma notação. Relembra-te que um anel é um triplo (R, +, \times), em que R é um conjunto, + uma operação binária comutativa e \times uma operação binária (não necessariamente comutativa) tal que:

  • O duplo (R,+) seja um grupo (abeliano)
  • \times seja associativa: \forall a, b, c \in R, a \times ( b \times c) = (a \times b) \times c
  • + seja distributiva sob \times, ou seja, \forall a, b, c \in R, a \times (b + c) = a \times b + a \times c e (a + b ) \times c = a \times c + b \times c
  • Que exista um elemento 1 \in R tal que \forall g \in R, g \times 1 = 1 \times g = g

Relembra-te ainda que o elemento que serve de identidade em (R,+) é denotado de 0 e é chamado de identidade; já o elemento 1 é chamado de unidade.

Do post 1, sabemos que para a, b \in R, a, b são divisores zeros se a, b \neq 0 mas a \times b = 0. Se a \times b = b \times a = 1, a e b são invertíveis.

Sabemos ainda que um domínio (integral) é um anel comutativo sem qualquer divisor zero. Vimos que um anel de divisão é um anel em que todo o elemento que não seja a identidade tenha uma inversa em \times

Como exemplo, toma o anel de divisão conhecido como os quaterniões, H. Constrói o seguinte sistema algébrico: toma 1, i, j, k como vectores bases de um espaço vectorial 4- dimensional, definido por:

i^{2} = j^{2} = k^{2} = -1, ij = k, jk = i ki =j e ji = -ij, kj= -jk, ik = -ki. Então para a, b, c, d \in R, define H = \{ a + bi + cj + dk \}. Então H forma um anel de divisão.
Este facto assenta na ideia de que todo o elemento g \in H possui um outro elemento g^{-1} \in H (a inversa de g em H), tal que gg^{-1} = g^{-1}g = 1.
Repara: se h \in H, então h = a + bi + cj + dk. Define o conjugado de h por h^{*} = a - bi - cj - dk. É rotineiro calcular que hh^{*} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}. Agora define h^{-1} = \frac{h}{hh^{*}}.

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