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Análise Matemática – Introdução a Análise Real (Post #2)

Neste segundo post, vou debruçar-me sobre o conjunto dos números reais e construir compreensão intuitiva do que eles são e representam.

Se já leste os posts introdutórios em Teoria de Grupos, sabes que existem certos conjuntos de números que têm propriedades muito especiais. Vamos dizer algo mais sobre N,Z,Q,R e introduzir um novo conjunto C. Podes ter ouvido falar deste sistema de números, especialmente se estudaste Matemática no 12º Ano. Trata-se do conjunto dos números complexos, C. Primeiro vamos falar um pouco sobre estes números reais, R.

 

Os números reais formam uma recta

 

Estou seguro que se tens uma ideia abstracta moderada da Matemática na vida, visualizas todos os números numa recta. Nessa recta tens todos os números que precisas “no dia a dia”: os números naturais N para contar, os números inteiros relativos que podes utilizar para denotar o nada ( 0) ou um balanço negativo numa conta bancária -2000; nessa recta tens os números que representas quando tens de dividir uma conta para 3 pessoas no restaurante e em que tu pagas a tua parte a a parte da tua amiga. Não pagaste um número inteiro de contas, pois isso implicaria não pagar nada ou pagar tudo. Pagaste algo que está entre os números 0 e 1, nomeadamente pagaste \frac{2}{3} = 0.6666... da conta. Este número é um número racional que pertence a Q, claro. Quando tens contacto com o número \pi, que representa a divisão da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro, as coisas tornam-se diferentes: é impossível que arranjes dois números inteiros, chama-os a e b, \in Z tal que se os dividires um pelo outro tenhas como resultado este número mágico \pi.

Exemplo: considera o intervalo [3,4] – todos os números entre 3 e 4 (inclusivé). Vai dividindo o intervalo em 2, 3, 4, 5, 1000, 10000… Por mais pequeno que possas dividir, nunca vais poder encontrar exactamente o sítio onde \pi se encontra. Logo a recta não pode ser contínua, ela tem buracos!
A recta só fica perfeitamente cheia se incluires estes números especiais, chamados de números irracionais. Os números irracionais não têm fim. Nunca vais poder escrever o valor decimal de um número irracional em papel, mas apenas uma aproximação.  Mais estudos sobre a estrutura destes sistemas de números levam a concluir uma coisa:

Proposição 1:

Um número x \in R ou é irracional ou é racional.

Ou seja: nesta recta dos números reais, estás garantido a encontrar dois tipos de números, racionais ou irracionais e todos os números x pertencerão a uma destas categorias apenas.

Aqui se calhar a tua intuição de números reais pode falhar! Como então definir estes números irracionais, que uso têm eles?

É uma pergunta injusta: para explicar teria de realmente falar sobre coisas muito distintas do espírito de Teoria de Grupos. A ideia que quero transmitir é que: estes números são realmente importantes e por mais artificiais que possam parecer, existem e sem eles não terias respostas para muitos problemas da vida real (que muita gente acha que é passível de ser compreendido apenas com números racionais, naturais, inteiros) (2)

Como exemplos muito relevantes, tem-se:

  • Pi: \pi = 3.14159265...
  • O número de Euler e: e =2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... Um número FUNDAMENTAL em tudo. Não consigo encontrar um número mais versátil que este. Está nas bolsas de investimento, está no cálculo de juros compostos, está em espirais e círculos, está em geometria de curvas e superfícies…
    Matemática em acção: pega numa calculadora e vai calculando os valores desta sequência: (1 + \frac{1}{n})^{n}. Ou seja: começa com o número 1 e substitui n por 1.

    • n = 1     (1 + \frac{1}{1})^{1} = 2
    • n = 2     (1 + \frac{1}{2})^{2} = ( \frac{3}{2} )^{2} = \frac{9}{4} = 2.25
    • n = 3     (1 + \frac{1}{3})^{3} = ( \frac{4}{3} )^{3} = \frac{27}{64} = 2.37037
    • n = 4     (1 + \frac{1}{4})^{4} = ( \frac{5}{4} )^{4} = \frac{625}{256} = 2.44141

    O que será que acontece se n se tornar muito grande? Tenta com n = 1000:
    n = 1000     (1 + \frac{1}{1000})^{1000} = 2.71692393. Compara este número com e. Bastante parecido, não dirias?

    Tentando com n = 1000000 (um milhão !)
    n = 1000000     (1 + \frac{1}{1000000})^{1000000} = 2.71828047. Bem, este é incrivelmente parecido a e.

    Será que consegues encontrar um certo n (muito muito grande) tal que se calculares a expressão tenhas EXACTAMENTE e ? Não.
    Este resultado vai chocar: para obteres o número e precisamente, terias de usar o maior número que consegues pensar: ou seja n = \infty. Não achas isto absurdo? É a beleza da Matemática a trabalhar.

    Os Matemáticos chamam a este conceito limite: esta expressão vai ficando mais e mais próxima de um certo número, mas nunca chega lá. Se n for tender a um número infinitamente grande, então a quantidade (1 + \frac{1}{n})^{n} vai tendendo a e. Matematicamente escreve-se:
    \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e. É óbvio que há maneiras de provar esta proposição, mas esse tópico é para Análise Matemática.

  • A raíz quadrada de 2: \sqrt{2}. Em notação decimal, \sqrt{2} \approx 1.41421356 (1) . Este número é dos mais fáceis de se entender poque não pode ser racional. Vamos até provar! Primeiro vamos pensar numa situação em que podemos ter contacto com tal número:

    Repara neste quadrado com 1 unidade de comprimento do seu lado. Tira a sua diagonal, ou seja, a linha que une dois vértices opostos um do outro. Se o comprimento horizontal e vertical for o mesmo (de uma unidade) quanto será o comprimento dessa diagonal? Aviso: o número que estás para descobrir é irracional!

Lema 1:

O comprimento da diagonal do quadrado na figura (também chamado de hipotenusa de um triângulo – o seu lado maior) tem comprimento \sqrt{2}.

Demonstração: Utilizando o Teorema de pitágoras sabes que num triângulo rectângulo ABC, verifica-se a igualdade A^{2} + B^{2} = C^{2}, C sendo  a hipotenusa. Como A = B = 1 seque que 1^{2} + 1^{2} = C^{2} e então 2 = C^{2} e então \sqrt{2} = C. \square

Tudo bem, essa é facil. Não há de ser complicado usar um Teorema dado no 8º ano para encontrar esse valor C. Como provar que \sqrt{2} é irracional, ou seja não é racional?

Teorema 1:

O número \sqrt{2} é um  número irracional.

Demonstração: Vamos provar por contradição. Pelo Lema 1, sabemos que todos os números reais são ou racionais ou irracionais. Se assumir que \sqrt{2} é racional e obtiver uma contradição, então \sqrt{2} tem de ser irracional (ou seja, não racional).
Assume então que \sqrt{2} \in Q. Então existem dois números a e b \in Z tal que \frac{a}{b} = \sqrt{2}. Sem perda de generalização, podemos assumir que a e b são coprimos – ou seja não têm nenhum factor em comum. Em que é que isto ajuda? Veremos num instante. A ideia é que se encontrares a e b tal que \frac{a}{b} = 20 (por exemplo a = 200, b = 10 então podes sempre dividir os dois números pelo seu máximo divisor comum Mdc(200,10) = 10 e encontraste agora dois novos números a' = 20 e b' = 1 tal que eles são coprimos – não têm nenhum factor em comum (a não ser o factor trivial 1) . Ete processo é SEMPRE possível de ser feito.

Assume então que a e b coprimos (sem factores em comum) são dois números inteiros tal que \frac{a}{b} = \sqrt{2} \Leftrightarrow ( \frac{a}{b} )^{2} = 2 \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}} = 2 e então a^{2} = 2b^{2} e então a^{2} é um número par. Que poderá isto dizer sobre a? Bem, sabemos que um número par vezes um número par é um número par é par e que um número ímpar vezes um número ímpar é um número ímpar. Então a tem de ser necessariamente par. Pode-se então escrever a = 2l, l \in Z, para um certo número l (não importa qual). Então a^{2} = 2b^{2} \Rightarrow (2l)^2 = 2b^{2} \Rightarrow 4l^{2} = 2 b^{2} \Rightarrow b^{2} = \frac{4l^{2}}{2} = 2l^{2}. Ou seja, b^{2} tem de ser par. Pelo mesmo raciocínio de a^{2}, isto implica que b é também par.

No entanto, assumiu-se que NÃO HAVIAM factores comuns e se a e b são pares então eles tem um factor comum: 2. Isto é uma contradição. Logo é impossível encontrar a e b tal que \frac{a}{b} = \sqrt{2} e então \sqrt{2} é irracional. \square

No próximo post, vou dar mais exemplos de números irracionais e falar sobre algumas propriedades de conjuntos nos números naturais (Provavelmente o conjunto mais importante em Análise Matemática!).

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(1) O sinal \approx lê-se “é aproximadamente igual a “. Por exemplo, 2.2145 \approx 2.2.

(2) Os Gregos tinham uma visão semelhante a esta. Para eles, Deus teria criado os números naturais e tudo na Natureza seria uma combinação destes números, em multiplicações, divisões, somas… Diz-se que um dia, um matemático da Escola Pitagórica descobriu que \sqrt{2} não podia ser racional e, com medo de destruir o conceito da Matemática Pitagórica, constituída apenas de números racionais (e positivos! ), terá sido sufocado e encontrado num riacho.

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