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Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #6)

Neste post vamos ver que há resultados interessantes que são consequências destes campos vectoriais gradientes. Um corolário fácil de deduzir é que, num campo vectorial gradiente, o integral ao longo de uma curva fechada é \phi(\gamma(b)) - \phi(\gamma(a)) = \phi(\gamma(b))- \phi(\gamma(b)) = 0. Por definição, admite que \mathcal{C}^{*} representa uma curva parametrizada fechada (i.e. em que \gamma(a) = \gamma(b). Este tipo de curvas motiva a próxima definição.

Definição 1: (Definição de um campo conservativo)

Seja f : D \rightarrow \mathbb{R}^{n} (1) um campo vectorial. f é conservativo se para qualquer curva simples \mathcal{C}^{*}, se tenha que \int_{\mathcal{C}^{*}} f = 0

Um campo que verifica esta condição é também chamado de independente de “caminho”, visto que se \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} forem duas curvas \mathcal{C}^{1} simples, tal que os seus extremos sejam os mesmos, então  \int_{\mathcal{C}_{1}} f = \int_{\mathcal{C}_{2}} f

Esta é uma condição um tanto técnica. Uma curva simples é uma curva que nunca se cruza. Tecnicamente, ela resulta sempre de uma parametrização bijectiva \phi: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}.

Curvas simples e não simples: por vezes é útil pensar em \gamma como uma função de posição com respeito ao tempo. As duas primeiras curvas são simples pois os mapas são bijectivos mas a terceira não, visto que não é injectiva.

Todos estes resultados são muito úteis mas como saber que um campo vectorial é de tipo potencial? Como vimos, ele é sempre conservativo e portanto qualquer integral ao longo de uma curva fechada tem de valer 0. Caso uma tal curva não satisfaça esta condição,  sabemos que é inútil tentar encontrar um potencial.

Como exemplo, se se tomar o campo $latex f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, com (x,y) \mapsto (-y,x), e a curva como um círculo de raio 1 centrado na origem – relembra-te que a parametrização é dada por \gamma : [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto (cos(t),sin(t)) – então \int_{\mathcal{C}}f = \int_{0}^{2 \pi} (-sin(t),cos(t)) \cdot (-sin(t),cos(t) dt = \int_{0}^{2 \pi} dt = 2 \pi \neq 0.

Como encontrar um potencial? Repara no campo f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, com (x,y) \mapsto \frac{1}{2}(-x,y). Para encontrares um potencial \phi com f = \nabla \phi, então f_{x} = \frac{\partial \phi}{\partial x}f_{y} = \frac{\partial \phi}{\partial y} . Então \frac{\partial \phi (x,y)}{\partial x} = -\frac{1}{2}x\frac{\partial \phi (x,y)}{\partial y} = \frac{1}{2}y. Isto quer dizer que \phi(x,y) = -\frac{x^{2}}{4} + C(y) e que \phi(x,y) = \frac{y^{2}}{4} + D(x), onde C(y),D(x) são funções arbitrárias. Se se tomar C(y) = D(x) = 0, uma solução emerge com \phi(x,y) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}.

Existe um certo tipo de campos vectoriais que são sempre gradientes. Trata-se de campos vectoriais radiais.

Campos radiais

Definição 2: (Definição de um campo vectorial radial)

Seja q : ]0, \infty [ \rightarrow \mathbb{R} um campo escalar. Construa-se o seguinte campo vectorial f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}

f(x) = \begin{cases}  & g(\left \| x \right \|) \frac{x}{\left \| x \right \|} \ \text{se } x \in \mathbb{R}^{n} - {0}\\  & 0 \text{ se } x = 0  \end{cases}

Se ||f(x)|| = k, com k \in \mathbb{R} \forall x \in \mathbb{R}^{n} \ | \ \left \| x \right \| = c, c >0, o campo vectorial f é radial.

Repara que um campo radial aponta sempre para dentro, ou para fora, consoante q(\left \| x \right \|) < 0 ou q(\left \| x \right \|) > 0 respectivamente.

Existe algo que parece ser estranho. Se x for um número real, sabemos que \left \| x \right \| denota o seu valor absoluto, e que se x \in \mathbb{R}^{2}, x é um vector no plano e então \left \| x \right \| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} – aqui x na fórmula refere-se à sua primeira coordenada e não ao objecto (vector ) x \in \mathbb{R}^{2}. Como fazer sentido da definição, onde x é em geral um n-vector? Esta questão é resolvida se se definir o valor absoluto de qualquer vector x = (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} como \left \| x \right \| = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}.

Um exemplo de um campo radial

Estes campos são interessantes e de uso extensivo em Física, principalmente. Exemplos incluem o campo eléctrico electrostático ou o gravitacional. Repara que o paràmetro principal é a distância do vector à origem, daí que haja simetria circular, esférica, … e que o seu valor é fixo para uma certa distância.

Teorema 1: (Campos vectoriais radiais são campo vectoriais gradientes)

Demonstração:

Uma vez mais, esta prova é construtiva. Vamos encontrar um campo escalar que é um potencial para um campo vectorial radial e mostrar que tal campo escalar é de facto um potencial. Defina-se \Phi : \mathbb{R}^{n} - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}, com x \mapsto Q(||x||) = Q( \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2}}), onde Q : ]0, \infty [ \rightarrow \mathbb{R} com Q ' (r) = q(r) (a primitiva de q).

Calculemos a derivada parcial de \Phi para a i-ésima coordenada, usando a regra da cadeia: \frac{\partial \Phi(x)}{\partial x_{i}} = Q ' (||x||) \frac{2x_{i}}{2 \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2}}} = q(||x||) \frac{x_{i}}{||x||} = f_{i}. Logo \nabla \Phi(x) = f \square

Este teorema é de uma utilidade astronómica em Física: este campo escalar \phi não se chama potencial ao acaso. Tem uma interpretação física muito específica. Por este teorema sabemos que, para um campo vectorial radial, a existência de um potencial é sempre garantida.

  • Num campo de força gravitacional, o corpo originador do campo, de massa M e o que está em posição \vec{r}, de massa m, experienciam uma força definida por \mathcal{G} = \mathcal{G}(\vec{r}) = \frac{GmM \vec{r}}{||r||^{3}}. O seu potencial – o potencial gravítico – é dado por \frac{GmM}{||r||} – repara como ele diminui à medida que a distância do objecto aumenta – tal como seria de esperar.
  • Num campo de força electrostática, o corpo originador do campo, de carga Q e o que está em posição \vec{r}, de carga q, experienciam uma força definida por \mathcal{E} = \mathcal{E}(\vec{r}) = \frac{\epsilon_{0}qQ \vec{r}}{||r||^{3}}. O seu potencial – o potencial electrostático – é dado por \frac{\epsilon_{0}qQ}{||r||} – repara como ele diminui à medida que a distância da carga aumenta – tal como seria de esperar.

Já avançámos bastante na teoria de Análise Vectorial! Extendemos o conceito de derivada (gradiente) e de integral para campos vectoriais e escalares. No entanto, a generalização pode ir mais além no que concerne os integrais: além de integrais de linha, vamos estudar integrais de superfície!

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(1) A partir de agora, D denota sempre um subconjunto de \mathbb{R}^{n} i.e. D \subseteq \mathbb{R}^{n}.