Matemática – Guia de Posts

Nesta página podes encontrar um sumário do que cada post numa determinada série aborda. Para que entendas cada uma destas áreas, convém que leias todos os posts por ordem e que pesquises mais pelos termos chave, assim como os links propostos nas notas de cada post.

A área de Matemática é coberta actualmente por duas subáreas:

  • Álgebra Abstracta
  • Análise Matemática

Secção Álgebra Abstracta

 

Na área de Álgebra Abstracta, podes consultar as seguintes séries:

  • Teoria de Grupos
  • Teoria de Anéis
  • Teoria de Categorias

 

Este post sumariza os posts por área na secção Álgebra Abstracta. Lê a descrição e vai seguindo as séries, post por post!

Série Teoria de Grupos

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #1)

  • Neste post introdutório é feita uma introdução através de uma motivação: em que é que a Teoria de Grupos pode ajudar? Quais são as principais áreas que dependem fortemente em Teoria de Grupos?
  • Uma introdução muito informal em terminologia da área.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #2)

  • Introdução ao conceito matemático de conjunto e subconjunto.
  • Sistema de números, N, \ Z, \ Q, \ R – os números naturais, inteiros relativos, racionais e reais.
  • Trivia: O Paradoxo de Russel.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #3)

  • Introdução ao conceito de operação binária e exemplos.
  • Introdução a aritmética modular.
  • Exemplos de grupos abelianos.
  • Introdução ao conceito de completude de um conjunto sobre uma operação binária.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #4)

  • Definição de associatividade de uma operação num conjunto.
  • Exemplos de operações associativas.
  • Existência de identidade
  • Existência de inversa
  • Demonstrações: a identidade é única num conjunto com existência de inversas.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #5)

  • Definição de Grupo e axiomas.
  • Exemplo: grupo de rotações de 90º graus num quadrado.
  • Demonstração: R_{90^{\circ}} é um grupo.
  • Notação multiplicativa em grupos.
  • Cálculo de todas as inversas de R_{90^{\circ}}.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #6)

  • Introdução ao conceito de congruência modular em grupos abelianos.
  • Demonstração: R é um grupo sobre a adição e a multiplicação (R - \{ 0 \}).
  • Demonstração: a inversa é única para cada elemento do grupo.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #7)

  • Definição de uma operação binária abeliana.
  • Exemplos de grupos abelianos.
  • O produto de duas rotações é comutativo.
  • Trivia: partição de Z em classes laterais.
  • Introdução a mapas e funções
  • Funções injectiva, sobrejectiva e bijectiva.
  • Exemplos de mapas.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #8)

  • Definição da ordem de um grupo.
  • Exemplos de grupos e respectiva ordem.
  • Introdução ao grupo simétrico Sym(\chi).
  • Permutações e exemplos.
  • Definição de factorial
  • Demonstração: A ordem do grupo simétrico de nível n é n!.
  • Permutações como uma bijecção.
  • Introdução à notação de ciclos.
  • Teoremas: Toda a permutação pode ser escrita como um produto de transposições.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #9)

  • Composição de permutações.
  • Teorema: A composição (produto) de duas bijecções é uma bijecção e portanto o produto de duas permutações é uma permutação.
  • O grupo simétrico Sym (\chi) forma um grupo com a operação binária composição de permutações.
  • Exemplos de grupos não abelianos.
  • Ideia de acção de um grupo num conjunto.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #10)

  • Introdução ao conceito de subgrupo de um grupo G.
  • Conceito de subconjunto de conjuntos.
  • Transitividade de inclusão de conjuntos.
  • Definição de subconjunto e subgrupo.
  • Exemplo: os pares revisitados.
  • Demonstração: O conjunto dos números inteiros pares 2Z é um subgrupo dos números inteiros Z.
  • Reparos sobre a notação de subgrupos.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #11)

  • Subgrupos triviais de um grupo G: \{ e \} e G e sua demonstração de que \{ e \} \leq G e G \leq G \forall G
  • Lema: A inversa da identidade é a identidade.
  • Um exemplo não trivial de um subgrupo de R_{90^{\circ}}, o grupo de todas as rotações de 90º sobre um quadrado, o subgrupo R_{180^{\circ}}.
  • Demonstração que R_{180^{\circ}} é um subgrupo de R_{90^{\circ}}.
  • Comentário sobre a ordem dos subgrupos.
  • Teorema de Lagrange: a ordem de um subgrupo H de G tem de dividir a ordem de G.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #12)

  • Revisão do conceito de ordem de um elemento e de um grupo
  • Definição de um gerador de um grupo
  • Exemplos de geradores de grupos
  • Definição de grupos cíclicos: grupos gerados por um elemento do grupo
  • Regras de operação de potências de elementos; a indução de multiplicação de um elemento g.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #13)

  • Exemplos de grupos cíclicos : números inteiros e números inteiros mod n
  • Um exemplo mais sofisticado: o grupo U(n)
  • Cardinalidade de U(n) – a função totiente de Euler
  • Teoremas sobre igualdade de potências de um elemento num grupo cíclico
  • Exemplos dos teoremas; aplicação a grupos infinitos
  • Relação entre divisibilidade de um número e a ordem do elemento

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #14)

  • Introdução conceptual à ideia de isomorfismo entre grupos.
  • Exemplo de equivalência estrutural: grupo cíclico finito e Z sob adição módulo n
  • Tabela de Cayley de um grupo
  • Explicação do critério de preservação de estrutura
  • Definição de um isomorfismo

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #15)

  • Revisão do conceito de isomorfismo
  • Alguns reparos sobre isomorfismos
  • Relações de equivalência num conjunto
  • A ideia de transitividade
  • O exemplo do supermercado: relação de equivalência para cereais
  • Definição de uma relação de equivalência
  • Representação gráfica de alguns grupos

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #16)

  • Um exemplo de isomorfismo: (R_{>0}, \times) \cong (R,+)
  • Propriedades básicas de isomorfismos: identidade mapea para a identidade, a imagem de uma potência é a potência da imagem, a ordem de um elemento é a ordem da imagem, a imagem de um subgrupo é um subgrupo.
  • Demonstração das propriedades

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #17)

  • Isomorfismo entre Z_{n} e C_{n}
  • Grupos de ordem 1 – o grupo trivial \{ e \}
  • Grupos de ordem 2 – o grupo cíclico C_{2}
  • Grupos de ordem 3 – o grupo cíclico C_{3}
  • Grupos de ordem 4 – o grupo cíclico C_{4} e o grupo 4 de Klein V_{4}
  • Grupos de ordem prima.

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #18)

  • Como pensar sobre isomorfismos: a arte de adivinhar
  • Generalização do domínio, contradomínio e zeros de um mapa
  •  Definição do núcleo de um mapa, Ker( \phi )
  • Exemplo de núcleos de diversos mapas
  • Definição do mapa de um mapa \phi, Im( \phi )
  • Exemplos de imagens

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #19)

  • Definição de um homomorfismo
  • Definição de um monomorfismo – um homomorfimo injectivo
  • Definição de um epimorfismo – um homomorfismo sobrejectivo
  • Corolário : um isomorfismo é um homomorfismo mono e epimórfico
  • Teorema: o núcleo de um homomorfismo é um subgrupo de G
  • Teste de injectividade de um mapa num grupo

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #20)

  • Exemplos de homomorfismos: o mapa de resíduos em Z; o determinante de uma matriz
  • Teorema de Cayley: um grupo finito é isomórfico a um subgrupo de um grupo simétrico adequado

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #21)

  • Revisão sobre relações de equivalência
  • Uma relação interessante: a ideia de partição por classes laterais
  • Definição de uma classe lateral
  • Exemplo: a paridade nos números inteiros
  • Definição de índice
  • O índice é igual em classes laterais esquerdas ou direitas

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #22)

  • Definição de subgrupos normais
  • Corolário sobre sugrupos normais: uma definição diferente
  • Exemplos de subgrupos normais
  • Um exemplo mais sofisticado: o núcleo de uum homomorfimo é um subgrupo normal

Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #23)

  • A ideia de um grupo quociente: um grupo de classes laterais
  • O produto de dois elementos em duas classes laterais diferentes está na classe do produto
  • Definição de produto de conjuntos
  • Uma operação binária para o grupo quociente
  • Demonstração que o grupo quociente é um grupo

Série Teoria de Anéis

Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #1)

  • Definição de um anél. Operações binárias aditivas e multiplicativas.
  • Definição de comutatividade num anel e exemplos.
  • Demonstração: a identidade da operação multiplicativa (1_{R} ) é única.
  • Lema: a identidade da operação aditiva (0_{R} ) é única.
  • Introdução ao conceito de anel nulo.
  • Definição de unidade, aneis de divisão, divisores zero e domínio.
  • Aplicação: lei de cancelamento para domínios

Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #2)

  • Reparos gerais sobre os axiomas de um corpo.
  • Generalização das propriedades de um corpo.
  • Exemplo: anéis de polinómios sobre um corpo K.
  • Exemplos no caso geral com n variáveis : K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]
  • Aplicações: Formas Quadráticas
  • Motivação de estudo de anéis de polinómios.

Série Álgebra Linear

(Em breve)

Nesta página podes encontrar um guia de posts de todas as séries de Análise. Estas são:

  • Análise Real
  • Análise Vectorial

Para que entendas cada uma destas áreas, convém que leias todos os posts por ordem e que pesquises mais pelos termos chave, assim como os links propostos nas notas de cada post.

Série Análise Real

Análise Matemática – Introdução a Análise Real (Post #1)

  • Neste post introdutório é feita uma introdução através de uma motivação: em que p odemos apreciar o estudo de Análise Matemática, em que conceitos nos podemos debruçar?
  • Exemplos de questões no domínio da Análise Matemática: continuidade de uma função, convergência de séries
  • O Problema de Basileia (lê um artigo sobre como Euler chegou à resposta aqui)
  • Aplicações de Análise em Física de Matéria Condensada: Condensados de Bose-Einstein.

Análise Matemática – Introdução a Análise Real (Post #2)

  • Propriedades gerais dos números reais: a recta real.
  • Progressão de subconjuntos: dos naturais, inteiros relativos, racionais aos irracionais.
  • Um número real é racional ou irracional.
  • Avaliação da série (a_{n}) = (1 + \frac{1}{n})^{n} e a sua ligação a e.
  • O conceito de limite
  • O número \sqrt{2} e o seu significado geométrico.
  • Demonstração de que \sqrt{2} é irracional

Análise Matemática – Introdução a Análise Real (Post #3)

  • Motivação para o estudo de corpos.
  • Operações binárias: exemplos.
  • Ideia de operações binárias completas / fechadas sobre um conjunto.
  • Definição de um corpo.
  • Exemplos de corpos.
  • Generalização para um corpo maior: os números complexos C.

Série Análise Vectorial

Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #1)

  • Objectivos do estudo de análise vectorial.
  • O papel de generalização da análise vectorial partindo da análise real.
  • Motivação: a ideia de um vector em R^{2}
  • Notação para vectores.
  • Adição de vectores: caso gráfico.
  • Multiplicação por um escalar: caso gráfico.

Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #2)

  • Revisão sobre a adição de vectores e multiplicação por um escalar.
  • Subtracção de vectores e a sua relação com a adição de vectores.
  • Propriedades das operações : a associatividade e comutatividade.
  • Introdução a multiplicação de vectores: o produto escalar.
  • Como generalizar estas ideias geométricas para outros espaços?
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