Curiosidades V : Qual é a temperatura média da Terra?

Neste post vamos usar um pouco de Matemática e Física  para calcular a temperatura do nosso planeta. Como é possível medir a temperatura de algo que não é homogéneo, que varia a sua temperatura através da sua superfície, com fenómenos tão complexos como actividade vulcânica ou convexão de águas marítimas do norte para partes costeiras?

A resposta é a escala. Se partirmos do pressuposto que o sol é uma esfera e que as ondas radiadas são ondas electromagnéticas emitidas radialmente para fora da superfície desta esfera, as ondas terão simetria esférica e se “espalharão” pelo espaço próximo da estrela (1).

No entanto, sabemos como um corpo esférico irradia energia. A Lei de Stefan-Boltzmann é de extrema utilidade para compreender este facto.

Comecemos pelo início: radiação electromagnética tem certos valores de energia, que correspondem a maiores frequências e menores comprimentos de onda. Estas radiações são de facto fotões que são ejectados do sol. A Lei de Stefan-Boltzmann diz que:

  1. A energia irradiada por unidade de tempo – a potência P – é linearmente proporcional à área emissora de radiação A e a temperatura  T do corpo que irradia. Ou seja, quanto maior a área do corpo emissor, maior a velocidade de emissão de energia.
  2. Mais precisamente, foi descoberto que a relação entre a potência e a temperatura é quártica ou seja, que P varia com a quarta potência da temperatura, T^{4}. A constante de proporcionalidade é a chamada constante … de Stefan-Boltzmann, \sigma . O seu valor foi medido como \sigma = 5.670 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4} – watts (joules por segundo) por metro quadrado kelvin à quarta. Isto quer dizer o seguinte: se duma área de 1 \ m^{2} fosse radiada radiação de um objecto á temperatura de 1 \ K, a potência irradiada seria exactamente de 5.670 \ W. Resumidamente, a lei tem a simples forma:

P = \sigma AT^{4}.

Este caso trata-se de um corpo negro – um objecto ideal que emite todas as radiações que absorve, em todos os comprimentos de onda. Sabemos que este processo induziria uma eficiência de 100%, algo completamente proíbido pela conservação da energia – (energia térmica pode ser convertida em energia cinética, potencial, etc (2)). Para solucionar o problema, o modelo torna-se ainda mais refinado com a introdução de um parâmetro adimensional \epsilon, chamado de emissividade. Para um corpo negro, ideal, vale \epsilon = 1. Qualquer corpo  numa posição intermédia (também chamados de corpos cinzentos) emitirá uma certa parte da energia que absorveram, transformando a restante em energia de transmissão, que por sua vez será convertida em outras formas de energia – ondas de som, fricção, criação de campos magnéticos, polarização de partículas, etc.
Este parâmetro apenas pode ter valores em [0,1].

Sendo assim, a nossa Lei de Stefan-Boltzmann pode ser escrita como:

stefan boltzman

Desta forma, sabendo o raio do Sol R_{S}, a sua potência P_{S} = \epsilon \sigma T_{S}^{4} ( 4 \pi R_{S}^{2}) é facilmente calculada (aqui, a área A é a área de uma esfera de raio R_{S}4 \pi R_{S}^{4}.  Assuma-se que a emissividade é máxima: que \epsilon = 1. Como a energia irradiada decai com o quadrado da distância (com a área da esfera com centro na origem emissora) (3), a energia recebida na superfície da Terra, a um raio a_{0} do Sol é dada por E_{a_0}, tem-se a relação E_{a_0} = \frac{E_{S}}{4 \pi a_{0}^{2}}.

Repara na razão pela qual a energia emitida tem de ser dependente com o quadrado do raio:

Aumentando o raio, como é que um quadrado escalona a sua área? Repara na sequência. Quanto maior for a área, para uma energia fixa, menor é o seu fluxo (energia por área). A área da esfera depende então no quadrado da distância!

Assim podemos estimar a potência da energia recebida do Sol: é simplesmente o produto da energia disponível a uma distância a_{0} com a secção da Terra: a área de um círculo maior sobre a superfície da Terra, \pi R_{T}^{2} – onde R_{T} é o raio da Terra. Esta energia é energia absorvida do Sol para a Terra, E_{A}.

Para calcular a energia emitida, conseguimos facilmente, usando a Lei de Stefan Boltzmann, obter uma variável que contém a váriavel que queremos conhecer – a temperatura da Terra T_{E}! A energia irradiada é então E_{I} = A_{T} \sigma T_{E}^{4} = 4 \pi R_{E}^{2} \sigma T_{E}^{4}.

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Imagina uma esfera com centro no Sol e raio a_{0}, a distância média do Sol à Terra – aproximadamente 146 milhões de quilómetros. Como a energia irradiada decresce com o quadrado desse raio, a energia que é realmente sentida por nós na Terra é minúscula em relação à energia irradiada do Sol!

Neste momento, a Física entra: sabemos que, pelo princípio da equipartição da energia, que em equilíbrio estas energia são as mesmas. A equação a resolver torna-se então E_{A} = E_{I} \Leftrightarrow 4 \pi R_{E}^{2} \sigma T_{E}^{4} = \frac{4 \pi R_{S}^{2} \sigma T_{S}^{4}}{4 \pi a_{0}^{2}}. Daqui se deduz que a temperatura da Terra tem de ser T_{E} = \sqrt[4]{\frac{R_{S}^{2} T_{S}^{4}}{4 a_{0}^{2}}}. Usando valores conhecidos como o raio médio entre a Terra e o Sol a_{0} = 1.49 \times 10^{7} m e a temperatura do Sol, T_{S} = 5780 K, o raio do Sol R_{S} = 6.96 \times 10^{8} m, a temperatura da Terra seria então de T_{E} = 279 K = 6^{\circ}!

Uma pequena correcção

Este valor parece ser uma surpreendentemente aproximação usando um argumento são simples. Não te esqueças: assumiu-se que toda a energia irradiada pelo Sol seria absorvida e posteriormente irradiada pela Terra. Podemos incluir um valor facilmente determinado, o albedo – a quantidade relativa de energia emitida do Sol que nunca é absorvida pela Terra – como refracção em camadas altas da atmosfera e eventos de dispersão de partículas na atmosfera. Para a terra, o albedo vale 0.3 – o que implica que se verifique um terço da energia irradiada pelo Sol nunca absorvida pela Terra. Então uma melhor correcção é dada por 0.7 \times T_{E} = 255 K = -18^{\circ}

Este argumento é intuitivo mas não dá uma resposta adequada. Sabemos que a temperatura média da Terra é de facto 15^{\circ}. revelando o método inadequado para estimar o resultado.

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A distribuição do albedo terrestre pela superfície terrestre. Repara como o albedo é quase unitário (perto de 1) nas regiões polares. A razão é simples: o gelo absorve muito pouca energia, reflectindo-a quase toda. Esta é a razão pela qual a temperatura glacial é baixa. O que é que acontece quando este gelo todo derreter?

_____
(1) Um conceito muito vago. Há quem utilize o raio da magnestofera solar para definir uma área onde os efeitos das emissões de radiação da estrela são determinantes.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetosphere)

(2) Para mais informação (e a sua ligação a outras partes de Física) : http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_energy

(3) Uma explicação é dada pela energia que uma onda electromagnética quando é emitida esfericamente. Se se assumir ondas esféricas

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