Teoria de Representações de Grupos (Post #6)

Neste post vamos poder ver mais concretamente o que é uma representação. Como podes entender, o estudo da Matemática tem duas vertentes: uma teórica e uma mais aplicada. A intuição das aplicações motiva a vertente teórica. Veremos que a Teoria de Representação de Grupos nada mais é que uma aplicação a fazer álgebra sobre os grupos. Multiplicações de elementos serão simples multiplicações de matrizes e acções de grupos uma simples multiplicação de matrizes (elementos de grupo) com vectores num espaço vectorial. .

O Segundo Exemplo mais Simples

Uma acção no segundo grupo mais pequeno

Vamos tentar perceber com um exemplo. Pensa no grupo cíclico de ordem 2, C_{2} = \{ 1, a \}. A sua estrutura parece fácil: 1 \times 1 = 1, 1 \times a = a = a \times 1 e finalmente a \times a = 1. Esta é a definição algébrica, mas o que é que realmente representa geometricamente?

action
Repara como uma simetria de reflexão faz os pontos sobre a recta, espaço vectorial \mathbb{R}. A ideia é então esta: posso transformar “aplicar acção” através de um elemento de um grupo G, g a um elemento de um espaço vectorial (neste caso \mathbb{R}) e obter um outro ponto no espaço vectorial! Ou seja, neste caso, a acção de C_{2} sobre \mathbb{R} produz o mapa x \mapsto -x.

Aqui vem o truque agora: queremos utilizar um grupo G para indicar a um vector como se modificar.

Neste exemplo é trivial. Pelo momento vamos definir gv como a transformação de um vector v através de um elemento de um grupo G. Introduzirei a definição correcta em dois parágrafos portanto tenta entender a ideia:

Vamos especificar uma base para o espaço vectorial \mathbb{R}, por exemplo o vector e_{x} o vector unitário para a direita – um espaço uni-dimensional. Temos então de especificar o resultado de gv para todos os g \in G e v \in \mathbb{R}. Informalmente:

  • É expectável construirmos tal multiplicação com 1v = v – queremos que a identidade de qualquer grupo não altere o vector dado. Ou seja, a aplicação de 1_{G}, a identidade de G é trivial: não produz efeito.
  • Composição de transformações deve gerar outra transformação, ou seja, g(hv) = (gh)v. Transformar um vector e o transformar de novo tem de representar a transformação conjunta das duas transformações no vector.
  • Que a transformação não altere o seu comportamento para múltiplos de um vector. Quero dizer, se um elemento g for aplicado a um vector v e retornar vg, então g retorna a um vector k vezes maior que v o seu k- úplo : g( kv) = k g(v)
  • Finalmente, que acção de uma soma de vectores seja  uma soma de acções. g(v+u) = gv + gu. Tecnicamente, que seja linear.

Com estas ideias, os “produtos” gv são dados por:

  • Os elementos do grupo C_{2} são  1, \ a e os elementos do espaço vectorial são V = \{ x e_{x} \ | \ x \in \mathbb{R}\} – múltiplos do vector unitário e_{x}.
  • 1(x e_{x}) = x e_{x}
  • a(x e_{x}) = -x e_{x}
O grupo de movimentos num cubo de Rubik define uma certa acção no cubo. Uma maneira diferente de pensar no objectivo do jogo é então: Dado uma certa configuração gv que elemento terei de aplicar de novo para que h(gv) = v? A resposta é extraordinariamente complexa! (1)

Ou seja, podemos pensar em elementos de um grupo G como transformadores de certos objectos (vectores), que vivem num espaço vectorial. Mas nunca encontrámos um tipo de multiplicação tão esquisita: sabemos multiplicar números, multiplicar dois vectores (produto vectorial), e multiplicar dois vectores para resultar num escalar (produto escalar ou produto interno). Mas como é que podemos multiplicar um elemento de um grupo por um vector?

A resposta virá de resultados muito técnicos e abstractos mas que nos vão dar certezas de que a maneira que vai ser apresentada funcionará!

Definição 1: (Acção)

Seja G um grupo e V um espaço vectorial sobre um corpo \mathbb{K} . Uma acção \circ : G \times V \rightarrow V é um mapa tal que:

  • 1_{G} \circ v = v \forall v \in V
  • g \circ (h \circ v)) = (gh) \circ v
  • g \circ ( \alpha v + \beta u) = \alpha \circ v + \beta \circ u \forall u,v \in V \ \alpha, \beta \in \mathbb{K}.

Repara como tudo funciona para a acção de C_{2} sobre \mathbb{R}:

  • O ponto (1) é verificado trivialmente.
  • a \circ (1 \circ (x e_{x}) = (a1) \circ (x e_{x}) = a \circ (x e_{x}) e viceversa para 1 \circ a. Em particular, a \circ (a \circ (x e_{x}) = (a^{2}) \circ (x e_{x}) = e \circ (x e_{x}) = x e_{x}.
  • Trivialmente linear:  for exemplo, para o elemento a : a \circ ( \alpha x \ e_{x} + \beta y \ e_{x}) = \alpha ( a \circ x \ e_{x}) + \beta \circ (y \ e_{x}).

A ideia pelo momento: podemos associar a identidade 1_{G} ao escalar 1 \in \mathbb{C} (ou \mathbb{R}), dependendo do corpo \mathbb{K} escolhido. e associar a a -1.

No próximo post veremos que em geral, associam-se matrizes a elementos de grupos. Daí a nossa definição de representação!

____________
(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group

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