Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #8)

Por mais intuitivos e úteis que os produtos escalares definidos no post passado sejam, eles não podem realmente representar o conceito de “projecção” verdadeiramente em qualquer espaço vectorial.

Depois de definir o produto escalar algebricamente para dois vectores no plano, x=(x_{1},x_{2}) e y = (y_{1},y_{2}) x \cdot y = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}, produtos escalares em vectores em \mathbb{R}^{n} podem ser facilmente generalizados pela definição aplicada ao plano – \mathbb{R}^{2} – pela seguinte forma: para dois vectores x, y \in \mathbb{R}^{n}, com x = (x_{1},x_{2},...,x_{n}) e y = (y_{1},y_{2},...,y_{n}), x_{i},y_{i} \in \mathbb{R} \ \forall i \leq n, define-se x \cdot y = \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.

Propriedades Básicas

Com esta definição, que propriedades podem ser verificadas? \forall x,y \in V e \alpha, \beta \in \mathbb{K}:

  • Comutatividade: x \cdot y = \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} = \sum_{i=1}^{n} y_{i} x_{i} = y \cdot x
  • Compatibilidade de multiplicação de escalares sobre o corpo \mathbb{K} de V: (\alpha x) \cdot (\beta y) = (\alpha x_{1}, \alpha x_{2},...., \alpha x_{n}) \cdot (\beta y_{1}, \beta y_{2},..., \beta y_{n}) = \sum_{i=1}^{n}(\alpha x_{i} \beta y_{i}) = (\alpha \beta) \sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} = (\alpha \beta) (x \cdot y).
  • Distributiva sobre adição: para z \in V, x \cdot (y +z) = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}(y_{i} + z_{i})) = \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} + \sum_{i=1}^{n}x_{i}z_{i} = x \cdot y + x \cdot z
Simples demonstração geométrica da projecção de uma soma de vectores B,C sobre um vector A

Esta definição nem sempre funciona

Acontece que esta simples definição de produto escalar não é totalmente satisfatória para muitos espaços. Vamos considerar, por exemplo, o espaço vectorial \mathbb{C} = \{ z \ | z = \alpha + i \beta \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} – os nossos amados números complexos. É trivial provar que \mathbb{C}, sobre o corpo \mathbb{C} ou mesmo \mathbb{R} forma um espaço vectorial. Que produto escalar podemos definir nele? Repara que a definição dada inicialmente não funciona se quisermos manter “as propriedades esperadas” de projecção de vectores.
Pensa no vector (elemento de \mathbb{C}) 2+i. Assumindo que temos o vector (2,i), então (2,i) \cdot (2,i) = 2 \times 2 + i \times i = 4 + (-1) = 3. Lembra-te que no post passado mostrámos que, se quisermos manter a ideia de projecção de vectores, então temos que para um vector qualquer x, x \cdot x = ||x||^{2}. Mas um conhecimento básico sobre números complexos refuta esta absurdidade: ||(2+i)||^{2} = (2^{2} + 1^{2}) = 5. Temos de abandonar esta ideia para generalizar a qualquer espaço vectorial! Tal generalização chama-se produto interno. É óbvio que vamos querer que todos os produtos escalares sejam internos.

Definição 1: (Produto Interno)

Seja V um espaço vectorial sobre um corpo \mathbb{K}. Um produto interno é uma operação binária \langle \cdot , \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{K} tal que \forall x,y,z \in V e \lambda \in \mathbb{K}:

  1. (Não-negativa) \langle x,x \rangle \geq 0 e (Nula apenas para 0) \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0_{V}
  2. (Linear no primeiro argumento) \langle x + y, z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle
  3. (Multiplicativa para escalares no primeiro argumento): \langle \lambda x,y \rangle = \lambda \langle x,y \rangle
  4. (Simétrica por conjugação) \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}

O par (V, \langle \cdot , \cdot \rangle) é denominado de espaço de produto interno

Ou seja, acabámos de definir (mais) um espaço importante em Análise Funcional: um onde um certo conjunto, apetrechado de um corpo (de escalares) pode definir um  mapa entre os seus elementos e esse mesmo corpo.

Repara que:

  • Se \mathbb{K} = \mathbb{R}, o Axioma 4 é desnecessário, visto que para qualquer \lambda \in \mathbb{R}, tem-se que \lambda = \bar{\lambda}.
  • Se \mathbb{K} = \mathbb{C}, Então \langle x,x \rangle = \overline{\langle x,x \rangle} e então \langle x,x \rangle \in \mathbb{R}, daí que o Axioma 1 faça sentido!
  • Usando os Axiomas 3 e 4 obtém-se que \forall \lambda \in \mathbb{K}, se tem que \langle x, \lambda y \rangle = \bar{\lambda} \langle x,y \rangle

Como resolver o problema anterior

Com estas definições na manga, é óbvio que um produto interno que funcione em \mathbb{C} seja simplesmente este: para x,y \in \mathbb{C}, com x = \alpha + i \beta e y = \gamma + i \delta, \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}, defina-se \langle x,y \rangle = x \bar{y} = (\alpha + i \beta) \overline{(\gamma + i \delta)} = (\alpha + i \beta) (\gamma - i \delta). Demonstrar é fácil:

Lema 1:

\mathbb{C} sobre \mathbb{C} forma um espaço (vectorial) com produto interno, dado por \langle x,y \rangle = x\bar{y}

Demonstração:

  1. \langle x,x \rangle = x\bar{x} = (\alpha + i \beta)(\alpha - i \beta) = \alpha^{2} + \beta^{2} = |x|^{2} \geq 0. Se \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow \alpha^{2} + \beta^{2} = 0 e então \alpha^{2}= -\beta^{2} \Leftrightarrow \alpha = \beta = 0 \Leftrightarrow x = 0.
  2. \langle x + y, z \rangle = (x+y)\bar{z} = x \bar{z} + y \bar{z} = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle.
  3. \langle \lambda x,y \rangle = (\lambda x) \bar{y} = \lambda (x \bar{y}) = \lambda \langle x,y \rangle
  4. \langle x, y \rangle = x\bar{y} = \overline{\overline{x \bar{y}}} = \overline{\bar{x}y}= \overline{\langle y,x \rangle}

Usando esta demonstração é fácil se aperceber que:

Corolário 1:

O espaço vectorial \mathbb{C}^{n} = \{ z = (z_{1},z_{2},...,z_{n}) \ z_{i} \in \mathbb{C} \ \forall i \leq n \} forma um produto interno por \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_{i}\bar{y_{i}}

Próximo passo: da mesma forma que métricas induzem normas em espaços vectoriais, produtos internos induzem sempre normas.

_______________
(1) Enquanto estava a escrever este artigo pensei no pormenor (talvez bem pedântico): será que a definição de \langle \cdot , \cdot \rangle é bem definida, i.e. será que para cada x,y \in V, \langle x,y \rangle é unicamente definido? Assume que não: que existe \lambda, \pi \in \mathbb{K} tal que \langle x,y \rangle = \lambda e \langle x,y \rangle = \pi. Então \langle x,y \rangle - \langle x,y \rangle = \langle x-x,y \rangle = \langle 0,y \rangle = \langle 0 \times K, y \rangle = 0 \langle K, y \rangle = 0 (sendo óbvio que  K é arbitrário em \mathbb{K} e então, visto que \mathbb{K} é um corpo, a equação \lambda - \pi = 0 tem como única solução \lambda = \pi.

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