Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #7)

Para terminarmos a primeira parte desta série, vamos dar a conhecer ainda mais um tipo de estrutura que pode ser acoplada a um espaço vectorial V. Se a norma generalizou o conceito de magnitude de um vector em V e uma métrica generalizou o conceito de distância entre dois vectores em V, o produto interno será uma generalização do produto escalar entre dois vectores. O produto escalar já não será assim tão intuitivo de se entender. Porquê generalizar esta ideia?

O que é Realmente o Produto Escalar?

Nas aulas de Matemática do 11º ano estuda-se um pouco mais sobre esta propriedade que os vectores no plano têm. Uma das maiores revelações e surpresas que tive na altura foi perceber como este conceito, aparentemente tão diferente de tudo o resto, me permitiu provar identidades vectoriais ou definir o ângulo entre dois vectores sem ter de os desenhar!

A ideia que deve ficar aqui é esta: o produto interno é uma operação binária que toma como argumento dois vectores \vec{A}, \vec{B} e retorna um escalar (por enquanto real, \mathbb{R}) que dá uma medida de quão diferentes os vectores são – tanto em magnitude como em direcção.

Duas perspectivas sobre o Produto Escalar

Geometricamente

Suponhamos que dois vectores \vec{A}, \vec{B} pertencem ao plano. Podemos definir um escalar Proj_{\vec{B}}(\vec{A}) – a magnitude que representa a projecção de \vec{A} sobre o vector \vec{B}. Repara  na figura:

O vector Proj_{\vec{B}}(\vec{A}) é um vector que projecta \vec{A} sobre \vec{B}. A sua magnitude é facilmente calculada como sendo |\vec{A}| cos(\theta), onde \theta é o menor ângulo formado entre \vec{A} e \vec{B}.

Então Proj_{\vec{B}}(\vec{A}) = |A|cos(\theta). Esta definição, se reparares não depende nunca da magnitude de \vec{B}! Para contornar-mos o problema, dever-se-á fazer o seguinte: Proj_{\vec{B}}(\vec{A}) é o que pretendemos- o produto escalar – não com \vec{B} mas com o vector unitário na sua direcção, i.e. \hat{B} = \frac{1}{| \vec{B}|} \vec{B}. Ou seja, Proj_{\vec{B}}(\vec{A}) = |\vec{A}|cos(\theta) = \vec{A} \cdot \hat{B}. Então multiplicando a igualdade por |\vec{B}| dá que |\vec{A}||\vec{B}|cos(\theta) = \vec{A} \cdot \vec{B}. (1)

Projecção de \vec{v} em \vec{w}, com \hat{w} = \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}

Algumas considerações: se pensar bem no que acabei de fazer…

  • Se aplicar o mesmo raciocínio e calcular Proj_{\vec{A}}(\vec{B}), chego à conclusão que \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} i.e. que o produto escalar é simétrico, (2)
  • Quando \vec{A} e \vec{B} são perpendiculares entre si (formam um ângulo de \theta = 90^{\circ}) a projecção Proj_{\vec{B}}(\vec{A}) = 0. Esta é uma condição suficiente para ortogonalidade.
  • O produto escalar está limitado, visto que como -1 \leq cos(\theta) \leq 1, se tem que -|\vec{A}||\vec{B}| \leq \vec{A} \cdot \vec{B} \leq |\vec{A}||\vec{B}|
  • Achei uma maneira de calcular a magnitude de um vector \vec{A}, visto que se \vec{B} = \vec{A}, então |\vec{A}|^{2} = \vec{A} \cdot \vec{A}
  • Achei uma maneira de calcular o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}, visto que cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} e então \theta = arccos(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|})

Algebricamente

Para dois vectores no plano, \vec{A} = (a_{1},a_{2}) e \vec{B} = (b_{1},b_{2}). O seu produto escalar é definido algebricamente por \vec{A} \cdot \vec{B} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}. Repara como todas as observações feitas na perspectiva geométrica se aplicam usando esta definição.

Generalizando para n dimensões, i.e. em \mathbb{R}^{n}, tem-se que, se A = (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}) e B = (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}), então A \cdot B = \sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}.

No próximo post vamos referir algumas propriedades básicas do produto escalar em \mathbb{R}^{n} e generalizar então o resultado para o que será o nosso produto interno \langle \cdot , \cdot \rangle.

_______________

(1) Para o mais atento: não assumi demais para chegar a esta equação final? Como sei que |\vec{B}|(\vec{A} \cdot \hat{B}) = \vec{A} \cdot (|\vec{B}| \hat{B}) = \vec{A} \cdot \vec{B}? Geometricamente faz sentido: apenas estamos a escalonar a projecção à magnitude de \vec{B} mas esta explicação geométrica não é uma demonstração,  mais uma motivação. Apresentando a definição algébrica de \vec{A} \cdot \vec{B}, será fácil provar a asserção!

(2) Aqui simétrico refere-se a que f(x,y) = f(y,x), com f sendo o produto escalar. No entanto, como iremos ver em breve, a sua generalização, o produto interno, pode tomar valores complexos. Como fazer sentido da palavra simétrico sobre os complexos \mathbb{C}? Veremos na definição.

Anúncios

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s