Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #6)

Como prometido, dar-se-á um exemplo de uma métrica intuitiva e radicalmente diferente da (bastante intuitiva) métrica de distância euclidiana (o comprimento do segmento de recta que une os pontos x,y). Lembra-te que a definição de métrica apresentada no post anterior serve para generalizar o conceito de distância euclidiana. Isto acontece porque, por vezes, a noção de distância euclidiana não é a mais acertada para trabalhar com determinados espaços, como iremos ver. Vamos exemplificar com um exemplo.

De Táxi na Baixa de Manhattan

Considera esta grelha como ruas ortogonais da baixa de Manhattan. Qual é realmente a distância que um taxista precisa de saber para ir do ponto A a B?

Supõe que és um taxista em Nova Iorque e que o teu cliente quer ir para o ponto B, partindo do ponto A. Supõe ainda que as estradas são todas perpendiculares e que se interceptam em intervalos constantes – que a largura do quarteirão esteja fixa. Denotamos esta distância por a. Será que é mesmo assim tão útil saber o comprimento da linha que une A a B? Não muito, visto que essa distância é imaginária: percorrê-la seria equivalente a atravessar por parques, casas e arranha-céus. Porque não associar à distância uma  medida de quantos quarteirões são necessários percorrer, independentemente de serem para Norte ou para Este? (1)

Como calcular esta distância? Simples: somar o valor absoluto das diferenças de cada coordenada. Ou seja, para dois pontos A,B, com coordenadas A = (a_{x},a_{y}) e B = (b_{x},b_{y}), a “distância” que pretendemos é d(A,B) = |a_{x}-b_{x}| + |a_{y}-b_{y}|.

Repara na figura. Nela estão representados 4 percursos (generalizações do conceito de “segmento de recta” entre dois pontos tal que a distância seja o comprimento do segmento de recta). O verde corresponde à distância euclidiana normal – denotemo-la por d(A,B)_{\mathbb{E}} (2) – e o seu valor é facilmente calculado como sendo \sqrt{6^{2} + 6^{2}}a \approx 8.48a. Como vimos, esta métrica  não nos é útil, se bem que é a distância mínima entre estes dois pontos.

Calculemos a métrica Manhattan entre A e B, d(A,B)_{M}: no eixo O-E a diferença é de 6a e no eixo S-N a diferença é de 6a. Então d(A,B)_{M} = 12a. Na prática: para forçar a que 12 quarteirões percorridos sejam suficientes para chegar a B, traça os caminhos “mais extremos”: OU 6 para Norte e 6 para Este OU 6 para Este e 6 para Norte (de seguida). Agora, qualquer combinação de quarteirões Norte ou Este que perfaça 12a é válida! 3 caminhos equivalentes são mostrados no mapa: vermelho, azul e amarelo. Todos com métrica 12a.

A métrica Manhattan é também chamada de métrica Taxicab ou métrica \ell_{1} (designação que usaremos de agora em diante) é generalizada a vários espaços, não só ao plano \mathbb{R}^{2}.

Definição 1: (Métrica \ell_{1})

Seja \mathbb{R}^{n} um espaço vectorial n-dimensional sob os reais \mathbb{R}. Para dois pontos p,q \in \mathbb{R}^{n}, com p = (p_{1},p_{2},...,p_{n}), q = (q_{1},q_{2},...,q_{n}) e com p_{i}, q_{i} \in \mathbb{R} \ \forall i \leq n, a métrica \ell_{1} é dada por d(p,q)_{\ell_{1}} = \sum_{i=1}^{n} |q_{i}-p_{i}|

Agora que temos uma intuição por trás da definição de métricas e espaços  métricos, a pergunta surge: para que serve esta definição a não ser para diferenciar um ou dois exemplos estranhos? As coisas não aparecem ao acaso.

Espaços Vectoriais Normados admitem sempre uma métrica

O primeiro momento surpresa: estes dois objectos: espaços vectoriais normados e espaços métricos tem uma relação imediata: todos os espaços vectoriais normados (V, || \cdot ||_{V}) induzem uma  métrica neles mesmos. É óbvio que tomando V sem qualquer estrutura poderíamos aplicar a métrica discreta. A ideia a reter desta asserção não é essa, mas a de que a própria norma de V induz uma métrica.

Teorema 1: (Espaços vectorais normados admitem uma métrica)

Seja (V, || \cdot ||_{V}) um espaço vectorial normado. Então a função d_{|| \cdot ||} : V \times V \rightarrow \mathbb{R}, dada por d_{|| \cdot ||}(x,y) := ||x-y||_{V} é uma métrica em V e então (V, d_{|| \cdot ||}) é um espaço métrico.

Demonstração:

Trivial, segue tudo facilmente das definições:

  1. (d(x,y) \geq 0) d_{|| \cdot ||}(x,y) = ||x-y|| \geq 0, visto que || \cdot || é uma norma e então é sempre não-negativa.
  2. (d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y) d_{|| \cdot ||}(x,y) = ||x-y|| = 0 \Leftrightarrow x-y = 0 \Leftrightarrow x=y visto que || \cdot || é uma norma e então ||w|| = 0 \Leftrightarrow w=0
  3. (d(x,y) = d(y,x)d_{|| \cdot ||}(x,y) = ||x-y|| = |-1| ||x-y|| = ||(-1)(x-y)|| = || y-x|| = d_{|| \cdot ||}(y,x)
  4. (d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)) ||x'+y'|| \leq ||x'|| + ||y'|| visto que || \cdot || é uma norma. Como a desigualdade é válida \forall x', y' \in V, escolhe x' = x-y, \ y' = y-z   e então ||x' + y'|| = ||(x-y)+(y-z)|| = ||x-z|| \leq ||x-y|| + ||y-z||.

… e então (V, d_{|| \cdot ||}) constitui um espaço métrico. \square

Para entender estes conceitos (e muitos mais que aí virão!) vamos actualizando um gráfico de inclusão à medida que provamos certas relações. No momento:

normasmetricas

________________

(1) Ou qualquer outro par de direcções ortogonais entre si!

(2) \mathbb{E} de Euclidiana.

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