Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #5)

Nesta fase, em que já entendemos a definição de uma norma (mas ainda sem um objectivo ou uso directo de tal conceito), prossigamos com mais definições simples. Teoremas, resultados e exemplos serão dados mais para diante à medida que sejam necessários. Neste post falaremos de métricas em conjuntos.

Métricas: Generalizar Distância

O conceito de métrica é, como iremos ver, extremamente básico. Uma métrica pode ser definida em qualquer conjunto X, enquanto que uma norma faz sentido em espaços vectoriais (conjuntos com muito mais estrutura, como já vimos anteriormente). A ideia da definição de uma métrica é na generalização do conceito de distância entre pontos de um conjunto. Comecemos pela definição:

Definição 1: (Métrica e Espaço Métrico)

Seja X um conjunto. Uma métrica (ou função distância) é um mapa d : X \times X \rightarrow \mathbb{R} tal que:

  1. Seja sempre não-negativa, i.e. \forall x, y \in X, d(x,y) \geq 0.
  2. Distância nula se e só se os pontos são o mesmo, i.e. \forall x, y \in X, d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y.
  3. A distância de um ponto a si mesmo é sempre nula: \forall x \in X, d(x,x) = 0
  4. Verifique a desigualdade triangular, ou seja \forall x,y,z \in X, d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)

O par (X, d) chama-se um Espaço Métrico.

De facto, o primeiro axioma nem é necessário: ele é facilmente derivado do axioma 2,3 e 4! Considera, para x,y \in X, a sua métrica d(x,y). Por simetria, 2d(x,y) = d(x,y)+d(y,x) que por 4 se deduz 2d(x,y) \geq d(x,x) = 0 pelo axioma 3.

Há uma razão pela qual a desigualdade triangular é usada de uma maneira muito parecida à desigualdade aplicada em normas (repara na imagem ao lado). Veremos brevemente que todas as normas induzem métricas (mas não no sentido oposto) i.e. todo o espaço vectorial normado pode ser convertido num espaço métrico.
Desigualdade triangular aplicada a espaços vectoriais normados.

Exemplos de Espaços Métricos:

Lembra-te que qualquer conjunto pode admitir uma métrica.

  1. Uma métrica trivial é a métrica discreta: d(x,y) = 0 se d(x,y) = 1 se x \neq y. Isto é facilmente verificado: d(x,y) \geq 0 para todo $x,y \in X$. Axioma 2 e 3 são trivialmente verificados. Para a desigualdade triangular, usa o facto de que a métrica discreta pode ser escrita como d(x,y) = 1- \delta_{xy}, onde \delta_{xy} representa a função delta de Kronecker:
    Daqui se deriva que, como \delta_{xz} \leq \delta_{xy} + \delta_{yz}, que d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).
  2. Um exemplo básico da métrica discreta. Os elementos (um tanto patétiticos!) servem para mostrar que não tem de existir mais estrutura que o que a métrica deve possuir (i.e., os seus axiomas). Por contraste a um espaço vectorial, a soma ou qualquer outra operação em X nem está definida: o que significa QUEIJO + FIAMBRE ? Repara no grafo das distâncias: são simétrias (sem direcção) e produzem sempre a desigualdade triangular para qualquer terno de valores.

     

  3. Para um conjunto X = \mathbb{R}_{>0} (reais positivos), uma métrica possível é dada por d(x,y) = |log(\frac{y}{x})|.
  4. Os números reais usando o absoluto da sua diferença, i.e. X = \mathbb{R} e d(x,y) = |x-y|. (Em breve iremos demonstrar que a generalização d(x,y) = || x-y||, onde || \cdot ||_{V} é a norma de um espaço vectorial normado induz sempre uma métrica em V)
  5. A métrica British Rail (ou SNCF) (1). Num espaço vectorial normado, a métrica d(x,y) = ||x|| + ||y|| para x \neq y e d(x,x) = 0 induz uma métrica (2).
  6. Para um subconjunto Y \subset X, o duplo (Y,d) é um espaço métrico, a chamada restrição de X a Y. (Aqui (Y,d) usa a métrica restringida a Y \times Y).
  7. Seja M_{n}(\mathbb{K}) o conjunto de todas as matrizes quadradas de dimensão n com entradas no corpo \mathbb{K} (3). Este conjunto pode formar um espaço métrico com a seguinte métrica: para A, B \in M_{n}(\mathbb{K}), defina-se d(A,B) = Trace(A-B). Relembra-te que Trace(A) é a função Traço, que retorna de uma matriz A a soma das suas entradas diagonais, i.e. se A = (\alpha_{ij}), então Trace(A) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{ii},

No próximo post vamos dar mais um exemplo, mais detalhadamente. Trata-se da métrica Manhattan. Seguidamente, introduzir-se-á o conceito de produto interno num conjunto. Serão então estas as três estruturas que usaremos para entender Análise Funcional: Espaços Vectoriais Normados, Espaços Métricos e Espaços de Produto Interno.

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(1) O novo deriva de empresas de transporte ferroviário. Isto porque, normalmente, para quaisquer duas estações x,y, qualquer itinerário passa por um ponto principal (Londres, Paris).

(2) Esta asserção é facilmente demonstrada.

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