Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #4)

Agora que se entende melhor esta estrutura matemática de um Espaço Vectorial, duas outras noções têm de ser introduzida: o conceito de norma e de métrica. Porquê? A ideia primária de Análise é de rigorosamente definir conceitos como o que significa “convergir”, que propriedades importam na construção de resultados. É óbvio que alguns conceitos estão muitas vezes relacionados de uma forma bastante directa e intuitiva. Um exemplo deste facto pode ser dado por esta situação: uma função que seja diferenciável num ponto é contínua no ponto mas não necessariamente no sentido inverso. Existem certas características talvez mais abstractas que permitem distinguir o caso em que é possível deduzir que certas funções que são contínuas são diferenciáveis. Para entendermos a Análise Funcional, terás de entender que as definições, por mais estranhas e desvinculadas do objecto de estudo que possam parecer, resultam de condições necessárias para entender o porquê de certos resultados serem verificados em casos particulares. Na nossa óptica, a grande distinção está entre espaços vectoriais de dimensão finita ou infinita. Esta é a mensagem a reter: espaços vectoriais finitamente dimensões são fáceis de entender e de categorizar. Através de certas definições e resultados que iremos obter nos próximos posts, vamos poder provar que, mesmo que um espaço vectorial V seja abstractamente definido, o facto de ele possuir dimensão finita faz com que ele seja essencialmente o mesmo que o espaço vectorial \mathbb{K}^{n}! Antes, o começo:

Equipar um Espaço Vectorial com (ainda) mais estrutura:

Espaços Vectoriais Normados

Primeiro conceito a introduzir: vamos equipar um espaço vectorial (V, +, \cdot) sobre um corpo \mathbb{K} com um pouco mais de estrutura: o de uma norma || \cdot ||_{V}.

Este conceito não é estranho: é uma generalização do de magnitude de um vector. Exponha-se a definição primeiro:

Definição 1: (Espaço Vectorial Normado)

Seja V um Espaço Vectorial sobre um corpo \mathbb{K}. Um espaço vectorial normado é um espaço equipado como uma norma || \cdot ||_{V}, uma função || \cdot ||_{V} : V \rightarrow \mathbb{R} tal que:

  1. Seja positiva em qualquer vector, i.e. \forall x \in V, ||x|| \geq 0.
  2. A identidade de V, 0_{V} seja o único vector cuja norma seja nula, i.e. ||x||_{V} = 0 \Leftrightarrow x = 0_{V} (1)
  3. “Mantenha” a proporcionalidade entre os vectores e os seus múltiplos, i.e. \forall \alpha \in \mathbb{K}, || \alpha x ||_{V} = | \alpha | ||x||_{V} (2)
  4. Verifique a desigualdade triangular, i.e. \forall x,y \in V, ||x+y||_{V} \leq ||x||_{V} + ||y||_{V}.

Esta última propriedade é de importância sumária em Análise. É verificada em muitos espaços, sendo o primeiro que a inspirou precisamente o que se segue: o espaço de todos os vectores sobre o plano \mathbb{R}^{2}.

Como podes ver, é óbvio que todas estas propriedades são verificadas para a raínha das normas – o módulo (valor absoluto) nos reais \mathbb{R}. Outro exemplo clássico é dado pela magnitude de vectores no plano \mathbb{R}^{2}:

Pensa em todos os vectores possíveis de serem criados como linhas unindo dois pontos no plano \mathbb{R}^{2}. Este espaço é um espaço vectorial (a sua adição é a adição de vectores e a sua multiplicação escalar é dada por multiplicação por reais \mathbb{R}). Este espaço torna-se normado quando se considera a seguinte norma: para um vector v \in \mathbb{R}^{2}, com extremos de coordenadas (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}), a sua norma ||v|| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

Provemos que esta função definida na legenda da imagem acima forma de facto um norma:

Lema 1: (Magnitude de vectores no plano induz norma no plano)

Para o espaço vectorial V = \mathbb{R}^{2}, sobre um corpo \mathbb{K}= \mathbb{R} e para um elemento \vec{v} com extremos de coordenadas (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}), a função  || \cdot || = | \cdot | : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por ||v|| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} gera uma norma.

Demonstração:

Verifiquemos os axiomas um por um:

  1. Para qualquer vector \vec{v} \in \mathbb{R}^{2}, |\vec{v}| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}. Este valor é a soma de duas quantidades quadradas e portanto sempre positivo. Então |v| \geq 0 \ \forall v \in \mathbb{R}^{2}
  2. Supõe que |v| = 0. Então \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} = 0 \Leftrightarrow (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} = 0 e então x_{2}-x_{1} = y_{2}-y_{1}=0. Logo \vec{v} = (x_{1},y_{1}) - (x_{2},y_{2}) = (0,0) = \vec{0}. Assume agora que \vec{v} = 0. Então |0| = \sqrt{0^{2}+0^{2}} = 0.
  3. Seja \alpha \in \mathbb{R} e considera | \alpha v | = | \alpha ((x_{1},y_{1}) - (x_{2},y_{2}))| = | (\alpha x_{1}, \alpha y_{1}) - ( \alpha x_{2}, \alpha y_{2})| = \sqrt{(\alpha x_{2} - \alpha x_{1})^{2} + (\alpha y_{2} - \alpha y_{1})^{2}} = \sqrt{\alpha^{2}((x_{2} - x_{1})^{2}+(y_{2} - y_{1})^{2}))} = \alpha \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} = \alpha |x|
  4. Sejam dois vectores \vec{v}, \ \vec{u} \in \mathbb{R}^{2}, com coordenadas (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}) e (x^{*}_{1},y^{*}_{1}) e (x^{*}_{2},y^{*}_{2}) respectivamente. Então \vec{v} + \vec{u} = (x_{2} - x_{1} + x^{*}_{2} - x^{*}_{1},y_{2} - y_{1} + y^{*}_{2} - y^{*}_{1}) e por conseguinte |\vec{v} + \vec{u}| = \sqrt{(x_{2} - x_{1} + x^{*}_{2} - x^{*}_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1} + y^{*}_{2} - y^{*}_{1})^{2}} \leq \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} + \sqrt{(x^{*}_{2} - x^{*}_{1})^{2} + (y^{*}_{2} - y^{*}_{1})^{2}} e então |\vec{v}+ \vec{u}| \leq |\vec{v}| + |\vec{u}|

E então | \cdot | gera uma norma em \mathbb{R}^{2} \ \square

____________________
(1) Repara na distinção entre os zeros nas expressões: 0_{V} é um elemento do espaço vectorial, a identidade aditiva da operação binária +, enquanto que 0 se refere à norma de um vector, que é um número real pela definição da norma ||.||_{V}.

(2) Nesta definição, observa que a expressão contém duas normas: uma que opera no espaço vectorial V (abstracto) e a norma módulo | \cdot | sobre os reais \mathbb{R}.

Anúncios

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s