Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #3)

Continuemos a entender do que estes espaços vectoriais se tratam. Primeiro, pensemos em exemplos mais exóticos e menos intuitivos. Muitos problemas em Matemática foram resolvidosa partir do momento que se estabelece que um determinado conjunto pode ser apetrechado de um tais operações + e \cdot tal que possa ser um espaço vectorial! As propriedades abstractas que se vão provar neste post vão poder então ser aplicadas a exemplos concretos e isto ajuda a compreender a instância particular de muitos factos que ocorrem nestes espaços.

Mais exemplos de espaços vectoriais

  • Toma \phi como uma função, definida num domínio fixo, e considera a igualdade \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} \phi}{\partial y^{2}} = 0 – aqui \frac{\partial^{2} \phi}{\partial y^{2}} representa a segunda derivada da função \phi com respeito à  variável y. O conjunto de todas as soluções \phi a esta igualdade formam um espaço vectorial. Esta equação é chamada de equação de Laplace.
  • O espaço de funções que sejam integráveis ao quadrado, ou seja, para f(x) definida num intervalo a \leq x \leq b, \int_{a}^{b} |f(x)|^{2}dx < \infty. Este espaço é de importância extrema em Mecânica Quântica.
  • O espaço vectorial trivial, apenas contendo o elemento 0, i.e. V = \{ 0_{V} \}.
  • O conjunto de todas as funções de variável complexa z = x+iy que sejam diferenciáveis em todo o sítio e que satisfaçam: \int e^{-x^{2}-y^{2}}|f(z)|^{2}dxdy < \infty.

Agora que sabemos como definir um espaço vectorial, a próxima pergunta que tem de ser feita é : “quais são as propriedades dos espaços vectoriais?” A resposta a esta pergunta será correctamente dada numa série em Álgebra Linear. Neste post vamos conhecer os conceitos que mais se utilizam para criar Análise Funcional.

Lema 1: (Propriedades Básicas de Espaços Vectoriais)

Seja V um espaço vectorial, sobre um corpo \mathbb{F} e x \in V. Então:

  1. O elemento neutro de V, 0_{V} é único.
  2. A inversa de cada elemento é única.
  3. 0v = 0 \ \forall v \in V(Notação: 0 em 0v é um escalar do corpo. Na segunda igualdade, 0 \in V, um elemento do espaço vectorial, um vector.)
  4. \alpha 0 = 0 \ \forall \alpha \in \mathbb{F} 
  5. (-1)v = -v \ \forall v \in V.
Demonstração:
  1. Por contradição: supõe que existem dois elementos, 0 e 0' \ \in V, tal que x+0=0+x=x e que x+0' = 0'+x= x, \ \forall x \in V. Então escolhe x=0. Tem-se que 0+0 = 0+0' = 0'+0 = 0' + 0' = 0 = 0'.
  2. De novo, prova por contradição: supõe que existem duas inversas de um certo elemento x \in V, chama-as de a, \ b \in V. Então, x + a = 0 = x + b = 0. Considera agora a igualdade a = a + 0 = a + (x+b) = (a+x) + b = 0 + b = b.
  3. Considera 0v = (0+o)v = 0v + ov e então 0 = 0v + (-0v) = 0v + 0v + (-0v) = 0v.
  4. De modo parecido, considera \alpha 0 = \alpha (0 + 0) = \alpha 0 + \alpha 0. Então \alpha 0 + (- \alpha 0) = 0 = \alpha 0 \ \forall \alpha \in \mathbb{F}
  5. Simplesmente verifica que v + (- 1)v = 1v + (-1)v = (1 + (- 1))v = 0v = 0

Dependência Linear, Bases,o Span, a Dimensão

Uma propriedade importante aparece quando pensamos nos elementos que podemos gerar por todos os vectores. A resposta é básica: para gerar qualquer elemento v \in V, é preciso, escolhendo um conjunto de elementos (possivelmente infinito) e somar produtos deles mesmos. Formalmente. Isto leva a três conceitos-chave: a dependência linear, a base de um espaço vectorial e sua generalização de Span, e o conceito de dimensão.

Repara que, assumindo que podes encontrar um conjunto B = \{v_{1}, v_{2},...,v_{i},...,v_{k} \} \ \subset V\forall v \in V, \exists \alpha_{i} \in \mathbb{F} tal que v = \alpha_{1} v_{1} + \alpha_{2} v_{2} + ... + \alpha_{i} v_{i} + ... + \alpha_{k} v_{k} = \sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} v_{i}.  Para um conjunto B tal que se verifique tal propriedade, diz-se que V = Span(B) ou seja, que o span do conjunto B é o espaço vectorial V. Então:

Definição 1: (Dependência Linear)

Seja B \subset V. Então, B é linearmente dependente se para cada elemento x \in V, exista uma combinação linear  \sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} v_{i} tal que \sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} v_{i} = x, \alpha_{i} \in \mathbb{F}. Se tal combinação não puder ser encontrada, o conjunto B é linearmente independente.

Um exemplo óbvio pode ser dado por (1,0) e (2,0), visto que (2,0) = 2(1,0). Então o conjunto B = \{(1,0), (2,0) \} não é linearmente independente.

Definição 2: (Base)

Uma base num espaço vectorial é simplesmente um conjunto B \subset V tal que seja linearmente independente, e que V = Span(B). A cardinalidade do conjunto B, |B|, é denotado por dim(V) = k = |B|.

Um exemplo é dado para \mathbb{R}^{n} Uma base que pode ser sempre dada através de B = \{e_{1},e_{2},...,e_{n} \} com e_{i} = (0,0,....0,1,0,...,0) com 1 na $i-$ésima posição. Visto que \alpha = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...., \alpha_{i}, ..., \alpha_{n}) = \alpha _{1} (1,0,0,0,....) + \alpha_{2}(0,1,0,...,0) + ... + \alpha_{i}e_{j} + ... + \alpha_{n} e_{n}, com \alpha_{i} \in \mathbb{R}.

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