Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #2)

Um espaço vectorial é uma estrutura algébrica ou seja, um objecto cuja estrutura é postulada. Entendemos o que uma estrutura algébrica é pelas relações existentes nos seus elementos. A definição matemática de um campo vectorial é simples: informalmente, trata-se de um conjunto com uma operação binária comutativa (soma +) e multiplicação de elementos num corpo. Um corpo é outra estrutura algébrica, já introduzida neste post, por exemplo. A utilização de corpo é algo geral: normalmente todos os espaços vectoriais usarão os nossos corpos favoritos: os reais \mathbb{R} e os complexos \mathbb{C}.  Recriando a definição  (já dada aqui), tem-se que:

Definição 1: (Espaço Vectorial)

Seja V um conjunto de elementos. Um espaço vectorial (V,+, \cdot) sobre um corpo \mathbb{F} é um triplo em que + : V \times V \rightarrow V e

\cdot : \mathbb{F} \times V \rightarrow V são operação binárias tal que \forall x,y,z \in V

  1. x+y = y+x (Comutatividade da Adição)
  2. x+(y+z) = (x+y)+z (Associatividade da Adição
  3. \exists 0 \in V tal que x+0 = 0+x = x (Existência de uma identidade aditiva)
  4. \forall x \in V, \exists -x \in V tal que x+(-x) = (-x)+x = 0 (Existência de uma inversa aditiva)
  5. \forall \alpha \in \mathbb{F}, \alpha ( x+y) = \alpha x + \alpha y (Distributividade da multiplicação escalar com respeito à adição)
  6. \forall \alpha \ \beta \in \mathbb{F}, (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x (Distributividade da muliplicação escalar com respeito à adição do corpo (1))
  7. \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{F}, \alpha ( \beta x) = (\alpha \beta) x (Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação do corpo (2))
  8. \exists 1 \in \mathbb{F} tal que 1x = x (Existência de uma identidade multiplicativa escalar)

Vários espaços vectoriais são geométricos. Repara:

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Exemplos de espaços vectoriais

  1. Um ponto (necessariamente x=0 – repara que a existência de 0_{V} é sempre garantida pela alínea 3 da Definição 1). Então \{0 \}, com adição de pontos é um espaço vectorial, visto que: 0+0 =0 e \alpha 0 = 0 \forall \alpha \in \mathbb{R}. É chamado o espaço vectorial trivial, visto que é o espaço vectorial mais pequeno possível!
  2. Uma recta que contenha a origem (uma função afim). Repara que a dimensão deste espaço vectorial é finita, mesmo que o segmento contenha infinitos pontos.
  3. O plano \mathbb{R}^{2} que vimos no post passado é um um espaço vectorial importantíssimo.
  4. Como podes imaginar, o próximo passo é dado pelo espaço \mathbb{R}^{3}, com três dimensões.
  5. Para generalizar, usando qualquer n \in \mathbb{N}_{0}, \mathbb{R}^{n}. Estes espaços vectoriais (reais) também são chamados de Espaços Euclidianos em honra ao pai da Geometria, Euclides. Em geral \mathbb{R}^{n} = \{ (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \ | \ x_{i} \in \mathbb{R} \ \forall i \leq n
  6. Para generalizar ainda mais, o mesmo raciocínio pode ser aplicado a \mathbb{C}. O espaço \mathbb{C}^{n} é um espaço vectorial (complexo). Se se considerar \mathbb{C}^{n} sobre o corpo dos reais \mathbb{R}, este forma igualmente um espaço vectorial.
  7. O conjunto de todos os polinómios em uma variável P[\mathbb{F}] sobre um corpo \mathbb{F} é um espaço vectorial, visto que para cada polinómio p \in P[\mathbb{F}], p = \sum_{i=0}^{n} \alpha_{i}x^{i}, com \alpha_{i} \in \mathbb{C} e n \in \mathbb{N}_{0}. (1)
  8.  O conjunto de todas as sequências limitadas num corpo, denotada por l^{\infty}(\mathbb{F}) = \{ \{ (x_{1},x_{2},...) \ | \ x_{i} \in \mathbb{F} \ \forall i \ | \ sup_{k \in \mathbb{N}_{0}}|x_{k}| <\infty \}. Por palavras, este é o conjunto de sequências (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} que sejam limitadas, ou seja, que atinja um máximo para pelo menos um k \in \mathbb{N}. Por exemplo, se \mathbb{F}= \mathbb{R}, então a sequência (1,1,1,1,1,...) é limitada (obviamente), enquanto que (1,2,3,4,5,....) não o é. Prova que este espaço é um espaço vectorial com adição dada por x, y \in l^{\infty}, x = (x_{1},x_{2},...) e y = (y_{1},y_{2},...), então x + y = (x_{1},x_{2},...) + (y_{1},y_{2},...) = (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...) e multiplicação escalar dada por \alpha x = \alpha (x_{1},x_{2},...) = (\alpha x_{1}, \alpha x_{2},...)
  9. Generalizando o conceito, seja 1 \leq p < \infty. O conjunto l^{p}(\mathbb{F}) é o conjunto de todas as sequências sumáveis da p potência.
    Formalmente, l^{p}(\mathbb{F}) = \{ (x_{1},x_{2},...) \ x_{k} \in \mathbb{F} \ | \ \sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{p} < \infty \}
    Será que este conjunto, com adição e multiplação escalar dada pelo exemplo 8 forma um espaço vectorial? Temos basicamente de verificar que a soma x+ y \in l^{p} para todo x,y \in l^{p}.
    Considera a soma \sum_{k=0}^{\infty} |x_{k}+y_{k}|^{p} \leq \sum_{k=0}^{\infty}(|x_{k}|+|y_{k}|)^{p} \leq \sum_{k=0}^{\infty} 2 max(|x_{k}|,|y_{k}|)^{p} \leq \sum_{k=0}^{\infty} 2^{p}(|x_{k}|^{p}+|y_{k}|^{p}) = 2^{p} \sum_{k=0}^{\infty} |x_{k}|^{p} + 2^{p}\sum_{k=0}^{\infty}|y_{k}|^{p} < \infty e então x+y \in l^{p}.
  10. Considera agora o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo [0,1]. Aplicando a adição e multiplicação escalar como no exemplo 8 (a maneira mais natural), forma-se um espaço vectorial (em que cada vector é agora uma função!) (2)

__________________

(1) Um bom exercício para se certificar que se entendeu o conceito é de provar que P[\mathbb{F}] forma um espaço vectorial, em que a adição é a adição polinomial, i.e. (\alpha + \beta)(x) = \alpha(x) + \beta(x) e a de comum multiplicação escalar (k \alpha)(x) = k \alpha(x).

(2) Este espaço, quando dotado de uma função métrica, dá origem a um espaço completo, chamado de Espaço de Banach. Mais nos próximos posts.

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