Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #1)

Nesta nova série vamos poder aprender mais sobre funções e sobre os espaços onde elas “vivem”. Existem  vários tipos de espaços em Matemática com propriedades diversas. Muitos problemas resumem-se a encontrar um espaço que os represente. A tarefa não é fácil, pois há muitas e muitas propriedades em conjuntos, e generalizá-las nem sempre é fácil! Em resumo, A Análise Funcional tenta estudar a generalização de mapas entre conjuntos de natureza mais variada; mas o que é realmente este espaço matemático que falamos?

A Intuição da Ideia

Um exemplo onde é preciso saber que espaço contém todos os elementos desejados é básico: o de um ponto num plano. Para se conhecer o conjunto de todos os pontos no plano, é preciso criar uma estrutura que garanta que todas as propriedades de pontos no plano possuam. Chama este conjunto de \mathbb{R}^{2} (que veremos num instante porquê). O que eu quero dizer com “propriedades de pontos” é que a nossa ideia de ponto assenta nas premissas:

  • Para cada ponto x \in \mathbb{R}^{2}, existe um e apenas um vector \vec{y} tal que \vec{y} = \vec{x} - \vec{0} – ou seja, é sempre possível desenhar um vector \vec{y}, fixo na origem, tal que a ponta de \vec{y} esteja no ponto x.
  • Como a soma de dois pontos no plano está de novo no plano, então para quaisquer vectores \vec{r}, \vec{s} \in \mathbb{R}^  {2}, A sua soma \vec{r}+\vec{s} \in \mathbb{R}^{2}.
  • Para cada vector, o seu escalonamento resulta sempre num ponto, ou seja, se \vec{r} \in \mathbb{R}^{2}, então \alpha \vec{r} \in \mathbb{R}^{2}. Isto quer dizer que, mantendo uma direcção fixa na origem, todos os pontos sobre a linha está de novo no plano.

Repara que o que nós queremos descrever matematicamente é O PLANO.

Visualização do Plano. Repara que o plano em si não se refere à quadrícula de linhas que podem ser desenhadas (algebricamente, o espaço vectorial representado por linhas é um subconjunto do espaço vectorial representado pelo plano).
A origem é escolhida aleatoriamente.

Com um pouco de reflexão, o espaço que representa estes objectos é um espaço vectorial! Relembra-te do que um espaço vectorial é nestes posts ( A motivação no post 2 de Análise Vectorial ).
Este espaço vectorial tem dimensão finita – 2 – mesmo que os seus pontos sejam infinitos. Qual é o propósito da Análise Funcional então?

O Propósito

A pergunta de análise funcional é precisamente de generalizar a questão: como estudar funções em que os conjuntos iniciais possuam características distintas? Ou seja, se f : A \rightarrow B for um mapa de um conjunto A para um conjunto B, que propriedades podem ser estudadas consoante a natureza dos conjuntos A e B? Por exemplo, estes podem de ser pontos, como vimos na secção passada, ou vectores com n coordenadas, ou até um espaços de funções. Cada ponto seria então uma função nesta concepção de espaço vectorial!

O caso necessário

O uso da Análise Funcional é muito extensivo por toda a Matemática mas a sua aplicação é gratificantemente directa no nosso conhecimento sobre o Universo e a Física, através de Mecânica Quântica.
Esta série vai basear-se no estudo mais abstracto da Teoria mas será provável um dia demonstrar porque é que a Mecânica Quântica necessita de Análise Funcional para perceber as suas soluções. O espaço em que se trabalha nesta área é chamado um Espaço de Hilbert, um de muitos que estudaremos. A propriedade destes espaços é que são infinitamente dimensionais, ou seja, a sua dimensão enquanto espaço vectorial é mesmo \infty ! Conceitos como convergência e vizinhanças, topologias, distâncias (métricas) tem então de ser generalizados para fazerem sentido neste espaço. Por exemplo, como interpretar a soma de vários pontos neste espaço, quando a sua soma é infinita? Será que o resultado está de novo no espaço? Será que podemos criar teoria que consiga demonstrar e generalizar o conceito de espaço vectorial para algo ainda mais geral?

Uma descrição interessante é dada nesta página

The mathematical concept of a Hilbert space, named after David Hilbert, generalizes the notion of Euclidean space. It extends the methods of vector algebra from the two-dimensional plane and three-dimensional space to infinite-dimensional spaces. In more formal terms, a Hilbert space is an inner product space — an abstract vector space in which distances and angles can be measured — which is “complete”, meaning that if a sequence of vectors is Cauchy, then it converges to some limit in the space. Hilbert spaces arise naturally and frequently in mathematics, physics, and engineering, typically as infinite-dimensional function spaces. They are indispensable tools in the theories of partial differential equations, quantum mechanics, and signal processing. The recognition of a common algebraic structure within these diverse fields generated a greater conceptual understanding, and the success of Hilbert space methods ushered in a very fruitful era for functional analysis. Geometric intuition plays an important role in many aspects of Hilbert space theory. An element of a Hilbert space can be uniquely specified by its coordinates with respect to an orthonormal basis, in analogy with Cartesian coordinates in the plane. When that basis is countably infinite, this means that the Hilbert space can also usefully be thought of in terms of infinite sequences that are square-summable. Linear operators on a Hilbert space are likewise fairly concrete objects: in good cases, they are simply transformations that stretch the space by different factors in mutually perpendicular directions.

Estas perguntas são muito vagas mas com o tempo haveremos de entender o seu significado exacto e a sua conexão a muitas áreas de Matemática e Física!

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