Teoria de Representações de Grupos (Post #5)

Neste post vamos continuar a estudar a ideia de grupos em que todos os elementos podem ser escrito como uma combinação de certos elementos e suas inversas. Vamos tentar entender esta construção ao introduzir um outro conceito. A ideia é mais interessante do que útil, mas vai ajudar a perceber geradores e relações de grupos, chamadas e estudadas como presentações

Definição 1: (subgrupo gerado por um conjunto)

Seja G um grupo, H um subgrupo de G, e A um subconjunto de G (não necessariamente um subgrupo). Defina-se \langle A \rangle como a intersecção de todos os subgrupos H que contenham A, i.e. \langle A \rangle = \bigcap_{A \subset H \leq G}H.

A questão parece pertinente: será que a intersecção de quaisquer subgrupos de um grupo é de novo um subgrupo? A resposta é obviamente afirmativa:

O conjunto C = A \cap B é um subgrupo de G.

Lema 1: (a intersecção de subgrupos é um subgrupo)

Seja H, K dois subgrupos de um grupo G. Então o conjunto H \cap K = K \cap H é um subgrupo de G.

Demonstração:

Simplesmente usa o teste de subgrupos: \forall x, y \in H \cap K, xy^{-1} \in H \cap K. Seja que x, y \in H \in K. Então x \in H e x \in K. Como H, K são subgrupos, x^{-1} \in H e y^{-1} \in H, assim como x^{-1} \in K e y^{-1} \in K. Então xy^{-1} \in H e xy^{-1} \in K, então xy^{-1} \in H \cap K .
Usando indução no número de subgrupos intersectionados, o resultado segue. \square
Com este resultado, sabemos então que \langle A \rangle é subgrupo de G. Este subgrupo é chamado o subgrupo de G gerado pelo conjunto A. Repara é bem-definido: Existe sempre, para G fixo, um conjunto A tal que G = \langle A \rangle – por exemplo A=G. Estamos no ponto de separar grupos por um parâmetro importante: o facto de podermos encontrar um conjunto A finito que gere o grupo.

Definição 2: (Grupos finitamente gerados)

Seja G um grupo. Se G = \langle A \rangle e |A| < \infty (A for de cardinalidade finita), então G diz-se ser finitamente gerado.

Porquê esta definição estranha? No post passado falávamos no facto de que num grupo gerado, qualquer elemento pode ser escrito como produtos de (certos) elementos e suas inversas. Acontece que o conjunto de todos os produtos é exactamente este subgrupo gerado por um conjunto!

Proposição 1:

Seja A um subconjunto de G. Então \langle A \rangle = \{ a_{1}^{d_{1}}a_{2}^{d_{1}}...a_{k}^{d_{k}} \ | \ k \geq 0 \ a_{i} \in A, \ d_{i} \in {-1,1} \ \forall i \}

Demonstração:

Por simplicidade, define o conjunto B := \{ a_{1}^{d_{1}}a_{2}^{d_{1}}...a_{k}^{d_{k}} \ | \ k \geq 0 \ a_{i} \in A, \ d_{i} \in {-1,1} \ \forall i \}. Para provar igualdade, há que provar que B \subseteq A e A \subseteq B e então A =B. Primeiro, repara que B é um subgrupo de A: 1 \in B e se x, y \in B, então x = a_{1}^{d_{1}}a_{2}^{d_{1}}...a_{k}^{d_{k}} e y = b_{1}^{e_{1}}b_{2}^{e_{1}}...a_{t}^{e_{t}}. Então xy^{-1} = a_{1}^{d_{1}}a_{2}^{d_{1}}...a_{k}^{d_{k}}b_{t}^{-e_{1}}b_{t-1}^{-e_{t-2}}...a_{1}^{-e_{1}} \in B, e então B \leq G. Então \langle A \rangle \subset B. Para provar o converso, seja x \in B. Então x = b_{1}^{e_{1}}b_{2}^{e_{1}}...a_{t}^{e_{t}}. Como \langle A \rangle \leq G, x = b_{1}^{e_{1}}b_{2}^{e_{1}}...a_{t}^{e_{t}} \in \langle A \rangle e então B \subset \langle A \rangle. \square.

Anúncios

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s