Teoria de Representações de Grupos (Post #3)

Neste post vamos concretizar a ideia principal desta série: o que é exactamente uma representação? O post anterior lançou as fundações para poder responder à questão. Os axiomas abstractos de um campo vectorial tem um poder especial. Na série sobre Teoria de Grupos, vimos que é possível criar um espaço vectorial de matrizes. Mais ainda, podemos definir multiplicação de matrizes. Acontece que as entradas (as componentes de uma matriz) determinam as propriedades algébricas desta estrutura – neste caso, um anel. O corpo dos complexos \mathbb{C} é interessante e simplifica muitos resultados. Primeiro, uns factos.

Grupos de Matrizes

O conjunto de matrizes n \times n sobre o corpo $\latex \mathbb{C}$ é denotado por M(n, \mathbb{C}. Se A, \ B \in M(n, \mathbb{C} são inversas de si mesmas, então AB = 1_{n} = BA, onde 1_{n} denota a matriz identidade n \times n. Se A tem uma inversa então A é chamada de invertível. Relembra-te ainda que uma matriz é invertível se e só se (sse) o seu determinante não for zero.

No entanto, a existência de inversas não é garantida para todas as matrizes! Pensa na matriz 0_{n}, com todas as entradas zero!
O conjunto que precisamos para poder trabalhar com representações não é então M(n, \mathbb{C}), mas GL(n, \mathbb{C}) – o conjunto de matrizes com entradas em \mathbb{C} invertíveis. GL deriva de “General Linear”. Com estas propriedades, GL(n, \mathbb{C}) forma um grupo (com operação binária de multiplicação de matrizes) – o grupo geral linear de ordem n, visto que:

  • O produto de duas matrizes invertíveis é invertível.
  • A inversa de uma matriz invertível é invertível.

A ideia de uma representação é esta: converter cada elemento do grupo abstracto numa matriz e converter a operação binária abstracta em multiplicação de matrizes. Para inverter um elemento, basta inverter a sua matriz correspondente. Para multiplicar dois elementos abstractos, basta multiplicar as matrizes correspondentes. Repara no seguinte esquema:

Toma dois elementos x,y quaisquer num grupo G. As setas azuis significam multiplicação de x, y. Como G é um grupo, tais setas podem ser desenhadas e o resultado x*y está em G. A ideia é esta: se houver um homomorfismo \rho para GL(n, \mathbb{C}) então é possível estabelecer a mesma relação (seta azul) no grupo do lado direito. Igualmente para a seta amarela – inversão. Inverter um elemento em G é o mesmo que inverter o elemento para onde o homomorfismo o leva.

Representações

Temos então as ferramentas para definir uma representação de um grupo.

Definição 1: (Representação de um grupo)

Seja G um grupo. Uma representação \rho de G é um homomorfismo \rho : G \rightarrow GL(n, \mathbb{C}) com n \geq 0. n é chamado de dimensão ou grau da representação.

Repara que para n=0, GL(0, \mathbb{C}) = \{ e \}, o grupo trvial.

Exemplos:

Existe sempre, para cade grau n uma representação trivial: a que envia todos os elementos do grupo para a matriz identidade, ou seja: \rho : G \rightarrow GL(n, \mathbb{C}), com \phi(g) = I_{n}. É trivialmente um homomorfismo: \rho(x)\rho(y) = I_{n}I_{n}=I_{n}= \rho(xy).

Toma como grupo G= C_{2} = \{1,g \}, com g \neq 1. Uma representação possível para este grupo é dada por \rho(g) = \begin{pmatrix}  0 & 1\\  1 & 0  \end{pmatrix} , e com \rho(1) = \begin{pmatrix}  1 & 0\\  0 & 1  \end{pmatrix}. Repara que \rho(ge) = \rho(eg) = \rho(g) = \rho(g)\rho(e) e que \rho(g^{2}) = \rho(e) = I_{n} = (\rho(g))^{2} = \begin{pmatrix}  0 & 1\\  1 & 0  \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix}  1 & 0\\  0 & 1  \end{pmatrix}.
Existem representações que, apesar de serem diferentes, representam estruturalmente o mesmo mapa. Não é surpresa que isto tenha a ver com similaridade de matrizes!

Definição 2: (Equivalência de representações)

Seja G um grupo. Duas representações n dimensionais \rho e \sigma são equivalentes se existe T \in GL(n, \mathbb{C}) tal que \sigma (x) = T \rho (x) T^{-1}, \forall x \in G. Tal relação é denotada por \rho R \sigma.

O primeiro pormenor que deverias estar a pensar é: será que esta definição é sempre possível, i.e. será que \sigma como é definido é sempre uma representação? A resposta é afirmativa.

Lema 1:

Seja \rho : G \rightarrow GL(n, \mathbb{C}) uma representação e T \in GL(n, \mathbb{C}). Defina-se \sigma : G \rightarrow GL(n, \mathbb{C}) por \sigma(x) = T\rho(x)T^{-1}. Então \sigma também é uma representação.

Demonstração:

Para todo x,y \in G, \sigma(x) \sigma(y) = (T \rho(x) T^{-1})(T \rho(y) T^{-1}) = T \rho(x) (T^{-1} T) \rho(y) T^{-1} = T \rho(x) \rho(y) T^{-1} = T \rho(xy) T^{-1} = \sigma(xy). Repara que o penúltimo passo é válido visto que \rho é um homomorfismo. \square

Esta definição é muito prática para criar uma partição no conjunto de representações de um grupo: existem infinitas representações para um grupo finito mas todas elas podem ser categorizadas. A ideia é muito parecida com a partição de um grupo em classes laterais.

Lema 2:

Equivalência de representações R forma uma relação de equivalência.

Demonstração: Temos de mostrar que R é simétrica, reflexiva e transitiva. Para qualquer representação \rho , \rho(x) = I \rho(x) I^{-1}, portanto tomando T= I na definição força que \rho R \rho e então R é reflexiva. Para provar que é simétrica (ou seja que \rho R \sigma \Leftrightarrow \sigma R \rho \forall \rho, \sigma), começa com \rho R \sigma. Então \rho(x) = T \sigma(x) T^{-1} \ \forall x \in G e então sigma = T^{-1} \rho T. Como T e T^{-1} \in GL(n, \mathbb{C}), então \sigma R \rho. Para mostrar transitividade (\rho R \sigma R \tau \Rightarrow \rho R \tau), considera a primeira relação: como \rho R \sigma, então \rho(x) = T \sigma (x) T^{-1} \ \forall x \in G e a segunda: \sigma (x) = U \tau(x) U^{-1}, com T,U \in GL(n, \mathbb{C}). Então \rho(x) = T \sigma(x) T^{-1} = T(U \tau(x) U^{-1})T^{-1} = (TU) \tau(x) (TU)^{-1} \forall x \in G. Então \rho R \tau e R é transitiva. \square

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