Teoria de Representações de Grupos (Post #1)

Bem-vindo a mais uma série em Teoria de Grupos. Nesta série vamos ter a oportunidade de estudar – ou melhor, conceptualizar – grupos como sendo essencialmente transformações executadas num espaço vectorial V. Elementos de um grupo passam a ser entendidos como matrizes – que são ultimamente operadores lineares no espaço vectorial. Esta série vai apresentar definições, conceitos, proposições e demonstrações numa estética matemática. Isto não impede que esta área não seja de importância sumária em muitas e muitas áreas da Ciência. Toma como exemplo:

Física

Para além de todas as áreas teóricas que usam conceitos de grupos – como grupos de simetrias, funções de onda, isometrias do espaço-tempo ou invariância sobre uma transformação – existem áreas bastante práticas que usam a Teoria de Representação nos seus estudos, como por exemplo em Cristalografia.  O estudo da simetria de uma certa configuração cristalográfica – como a rômbica ou o cristalino cúblico – pode ser simplificado quando o grupo de pontos do sistema é obtido. Igualmente importante é a tabela de caracteres do grupo, onde o uso de caracteres irredutíveis explica as configurações possíveis do sistema.

Os arranjos moleculares induzem estrutura em cristais e estes podem ser entendidos através de simetrias. Estas simetrias revelam-se na formulação de teoria. Representações de tais grupos de simetrias podem ajudar a prever o futuro do sistema ou mesmo a impossibilidade de certo rearranjo acontecer!

 

Química

De uma maneira semelhante, muitas moleculas são estudadas através de um argumento geométrico. A sua estrutura de simetrias é analisada e oferece maneiras de conceber possíveis reconfigurações. O uso de tabelas de caracteres e de grupos de pontos é frequente nesta área também.  A cada grupo de pontos, é associada uma tabela de caracteres. Este formalismo vai ser introduzido abstractamente e provado.

Esta molecula, CH_{3}Cl, tem, por um exemplo, uma simetria de 120º rodando ao longo do eixo vertical.

  Aviso: Esta série requer bastante Álgebra Linear e um conhecimento médio de Teoria de Grupos. Quando apropriado, o respectivo conceito de Álgebra Linear ou Grupos será previamente introduzido. Lê a série em Teoria de Grupos aqui!

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