Análise Matemática – Introdução a Cálculo Variacional (Post #2)

Nesta secção quer-se rever a teria de pontos críticos em funções de uma variável, i.e. f = f(x). Este será o primeiro reparo para o qual nos iremos concentrar. Nada que não seja uma pequena revisão de secundário. Vamos assumir que f é uma função de classe \mathcal{C}^{1} – ou seja, contínua e diferenciável num intervalo fechado.

Uma ilustração de máximos e mínimos locais

Uma condição necessária

(clica para Revisão)

Para que f atinja um mínimo num ponto x_{0}, é necessário que todos os valores de f(x), numa vizinhança de x_{0} (um intervalo I) sejam superiores a f(x_{0}). Matematicamente, f(x_{0} + h ) \geq f(x_{0})  \ \forall h tal que x_{0} + h \in I, com x_{0} \in I. Isto implica que \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h} é positivo para h >0 e negativo para h <0. Isto quer dizer que para h \rightarrow 0^{+}, f'(x_{0} + 0) \geq 0 e para h \rightarrow 0^{-}, se tem que f'(x_{0} - 0) \leq 0. Como f é contínua, estes limites têm de ser necessariamente iguais e então f'(x_{0}) = 0.  O argumento pode ser repetido para demonstrar que a mesma condição é necessária para um máximo. Isto motiva a seguinte definição:

Definição 1: (Ponto crítico)

Seja f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função real, com x_{0} \in \mathbb{R}. x_{0} é chamado de ponto crítico, ou extremo, se f'(x_{0}) = 0

Nem todos os pontos críticos são sempre máximos ou mínimos. O exemplo clássico é dado por f(x) = x^{3}. f'(x) = 3x^{2} e então f'(0) = 0. No entanto é fácil de se ver por um gráfico que nenhuma situação acontece em x_{0} = 0.

O ponto x=0 não oferece nem máximos nem mínimos, mesmo que f'(0)=0

Como distinguir de máximos e mínimos?

Vamos supor que x_{0} é um ponto crítico e que f(x) é analítica numa vizinhança de x_{0} – isto implica que a função pode ser representada através de uma Série de Taylor. Então f(x_{0} + h ) = f(x_{0}) + hf'(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2!}f''(x_{0}) + resto. Agora, como este resto é de ordem h^{3} (repara na fórmula da série), então, caso f''(x_{0}) \neq 0, tem-se que |resto| < \frac{h^{2}}{2!} f''(x_{0})  . Então, para h pequeno, f(x_{0}+h) \approx f(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2!} f''(x_{0}) – relembra-te que f'(x_{0}) = 0 – e então f''(x_{0}) > 0 garante um mínimo e f''(x_{0}) < 0 garante um máximo (locais).

Estas definições de máximos e mínimos são locais. Localidade neste caso quer apenas dizer que a função atinge extremos numa vizinhança do ponto crítico.

Apenas por completude, incluo a definição de máximos e mínimos locais. Esta definição deve ser familiar para alguém que tenha estudado Análise I.

Definição 2: (Máximo Local)

Seja f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função e x_{0} \in \mathbb{R}. Diz-se que f atinge um máximo local em x_{0} se existe \delta >0 tal que f(x_{0}+h) \leq f(x_{0}) para todo |h| < \delta.

A definição é facilmente formulada para mínimos locais. Repara na seguinte imagem:

Vamos fazer sentido da definição, para o caso de um mínimo local. Para que x_{0} seja um mínimo local, tem de existir um valor real positivo \delta > 0 tal que para TODOS os valores h entre 0 e \delta, se tenha que a função seja SEMPRE maior que a função avaliada em x_{0}, ou seja f(x_{0} + h) > f(x_{0}), \forall |h| < \delta.

No próximo post vamos generalizar a noção para…. funções de várias variáveis.

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