Análise Matemática – Introdução a Cálculo Variacional (Post #1)

Bem vindos a esta nova série em Cálculo de Variações – também chamada de Princípios Variacionais.

Esta área da Matemática é um ramo de Cálculo que basicamente consiste em maximizar ou minimizar funcionais. Estes serão devidamente explicados a seu tempo mas a sua ideia elementar é que estes representam mapas de funções para um certo conjunto de números. Os funcionais que serão apresentados nesta série são todos funcionais I : S \rightarrow \mathbb{R}, onde S representa um conjunto de funções. O uso desta área é de maior relevo para determinação de funções que façam o funcional atingir o seu máximo ou mínimo. 

É necessário entender como generalizar os métodos para determinar máximos, mínimos e pontos críticos de uma função de n variáveis. Esta ideia vai levar a rumos que nos permitirão estudar funcionais.

Um pouco de História

O primeiro problema

O primeiro exemplo clássico que suscitou muita curiosidade no século XVII – 1696 –  foi dado pela curva braquistócrona. Esta palavra deriva do grego: brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo). A pergunta é simples: dados dois pontos, num espaço sobre a influência de um campo gravitacional constante, qual é a curva para qual a trajectória é efectuada no menor intervalo de tempo. Sem surpresas, a resposta é dada por esta curva.  Johann Bernoulli conseguiu chegar à resposta, ou seja, descreveu geometricamente a solução. O método que usou foi audacioso para a época, não tendo ferramentas fidedignas de cálculo infinitesimal e de equações diferenciais. Com a teoria que iremos desenvolver, o problema é resolvido de um modo relativamente simples!

Uma mente menos atenta aos detalhes pode pensar que a trajectória que garante o mínimo tempo é a que garante a menor distância entre os pontos. No entanto, tal não é observado. A complicação do problema reside no facto de que existe um campo gravitacional que faz o corpo acelerar, consoante a sua disposição espacial. A ideia é então descobrir que curva, de todas as que unem os pontos extremos, alcança tal feito.

Muitos trabalharam no problema, como o seu irmão Jakob Bernoulli, L’Hôpital e Euler. No entanto, Euler foi o primeiro a elaborar teoria. Lagrange, Legendre, Newton e Leibniz também contribuíram, assim como Gauss, Poisson e Jacobi – mais tardiamente, no século XIX.

Uma condição necessária

A dita equação – que havemos de derivar!

Uma das equações que mais curiosidade desperta em toda a Matemática, nem que seja a título opinativo pessoal, tem de ser a equação de Euler-Lagrange. Esta equação impõe uma condição a uma função que extremize um certo funcional – normalmente assumindo que a função é \mathcal{C}^{2}. Teremos a oportunidade de ver que esta equação é de uso incalculável em Física, onde representa a minimização de quantidades universais. Se a Natureza parece sempre minimizar certas quantidades, o Cálculo de Variações vem ao auxílio para definir Física no sistema. É possível então reescrever certas leis – normalmente postuladas ou obtidas por processos não relacionados – através deste formalismo!

Luz e Matemática

Um dos grandes princípios físicos que desenvolveu esta parte da Matemática foi também promovido pelo estudo… da luz. O Princípio de Fermat, que postula que a luz minimiza sempre o caminho óptico entre dois pontos, leva a resultados em concordância com os observados e abre uma janela de possibilidades para analisar vários outros problemas, como interferência de ondas.

O estudo de interacção de ondas pode ser entendido pelo Princípio de Fermat, que haveremos de estudar!

Para terminar este post de introdução, vou relembrar que esta série vai fazer um uso intensivo de derivação, integração – e todos os seus métodos relacionados, como regra da cadeia, da substituição, assim como um pouco de Análise Vectorial. Nada que vá doer, no entanto!

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