Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #26)

Este é o vigésimo sexto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.

Neste post quero falar de uma ideia muito útil, um tanto intuitiva e de uma importância fulcral em Álgebra e Teoria de Números: o conceito de automorfismo. Já vimos bastantes mapas com os seus ismos. Um automorfismo informalmente é apenas um isomorfismo – ou seja, um homomorfismo bijectivo (injectivo e sobrejectivo) – de um grupo para si mesmo. Pode ser visualizado como uma “simetria” estrutural do grupo.

Definição 1: (Definição de um automorfismo)

Seja G um grupo. Um automorfismo de G é um isomorfismo \phi : G \rightarrow G.

É natural pensar que esta definição seja vácua – existe apenas um automorfismo para cada grupo, nomeadamente o mapa identidade – i.e. \phi(g) = g \ \forall g \in G. No entanto vários exemplos podem demonstrar esta ideia como sendo falsa.

Exemplos de automorfismos

Repara que neste artigo me refiro especificamente a automorfismos de grupos, embora o conceito seja facilmente extendido a outros objectos matemáticos (nomeadamente algébricos), como conjuntos, anéis, corpos, categorias, reticulados e álgebras.

Inversão de um grupo

Se G for abeliano, define o seguinte mapa \phi : G \rightarrow G por g \mapsto \phi(g) = g^{-1}. Este mapa é um homomorfismo, visto que \phi(gh) = (gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1} = g^{-1}h^{-1} = \phi(g)\phi(h), devido à comutatividade na penúltima igualdade. Visto que \phi^{2}(g) = \phi(\phi(g)) = g \ \forall g \in G e então \phi é o mapa inverso de si mesmo em G. Então \phi é um isomorfismo G \rightarrow G ou seja, um automorfismo.

Permutações e Grupo Simétrico

Um exemplo mais rebuscado mas intuitivo: se \chi = \{ 1,2,3,..n \} e G for o grupo simétrico de \chi, Sym(\chi) = G = S_{n}. Pensando num elemento \phi \in S_{n} – por exemplo (13), trocando os elementos latex 1$ e 3, deixando os outros inalterados (Relembra-te da notação e da matemática por trás dos grupos simétricos no post 9 desta série), é possível  aplicá-lo a um elemento x \in G, da seguinte forma: x pode sempre ser escrito como x =  \begin{pmatrix}    1 & 2 & 3 & ... & n\\  a & b & c & ... & z  \end{pmatrix}, onde \{1,2,3,....,n \} = \{a,b,c,...z \} são o mesmo conjunto. Com esta notação, aplicar \phi a x induz  \phi(x) = \begin{pmatrix}  \phi(1) & \phi(2) & \phi(3) & ... & \phi(n)\\  \phi(a) & \phi(b) & \phi(c) & ... & \phi(z)  \end{pmatrix}

Com esta notação em mente, então é fácil de provar que \phi(x) \in S_{n}, que \phi é um homomorfismo e que \phi possui uma inversa que é um homomorfismo. Isto é suficiente para provar que \phi é um automorfismo de G.

Grupo de Automorfismos

Como não podia deixar de ser, há sempre uma complementaridade na teoria. Agora que se definiu um automorfismo de um grupo G, porque não considerar o conjunto de todos os automorfismos de G ? A ideia é que, como iremos provar de seguida, é possível munir este conjunto com uma operação e torná-lo… num grupo.

Proposição 1: (Automorfismos formam um grupo)

Seja G um grupo e \phi : G \rightarrow G um automorfismo. Então o conjunto Aut(G) = \{ \phi \} – o conjunto de todos os automorfismos de G – forma um grupo.

Demonstração:

O único passo de sofisticação é a escolha da operação binária – que tem de sempre ser bem definida para qualquer grupo G. A escolha óbvia é composição de mapas, visto que automorfismos são mapas definidos no mesmo grupo. Ou seja, para dois elementos \alpha, \beta \ \in Aut(G), defina-se \alpha \beta (g) = \alpha ( \beta (g), com g \in G. O resto é trivial:
O produto \alpha \beta \in Aut(G), pois, como vimos no post , o produto de dois isomorfismos é um isomorfismo. Para provar associatividade, considere-se \alpha, \beta, \gamma \in Aut(G) e o produto \alpha ( \beta \gamma )(g) = \alpha \beta(\gamma(g)) = \alpha(\beta (\gamma (g)))) = ( \alpha \beta) \gamma (g). A identidade é simplesmnte o automorfismo trivial \phi(g) = g \ \forall g \in G. A existência de inversa é garantida pelo facto de que \forall \phi \in Aut(G), \phi é bijectivo e portanto admite inversa (igualmente bijectivo e portanto em Aut(G). Então Aut(G), munido de composição de mapas como operação binária, forma um grupo \square

Exemplos de mais automorfismos e respectivos grupos de automorfismos:
  • O automorfismo de um conjunto \chi de cardinalidade n é simplesmente o conjunto de todas as bijecções do conjunto para o conjunto. Estas são obviamente permutações. Portanto o conjunto de todos os isomorfismos de um conjunto é simplesmente o conjunto de todas as permutações, ou seja, Aut(\chi) = S_{n}.
  • Para o grupo (\mathbb{Z}, +) tem dois automorfismos: o automorfismo trivial \phi(x) = x e a negação \phi(x) = -x. Repara que se se considerar o anel (\mathbb{Z}, +, \times), não existe tal automorfismo de aneis de negação – a inversão da operação adição.
  • De Álgebra Linear, podemos criar o automorfismo de um espaço vectorial V de dimensão finita (1). Trata-se do Grupo Linear Gerral  GL(V). Isto quer dizer que Aut(V) \cong GL(V). Este grupo é gerado por todas as matrizes n \times n invertíveis. Um mapa linear num espaço vectorial é um endomorfismo (2)- um homomorfismo V \rightarrow V. Se este mapa for invertível, trata-se de um automorfismo.
  • Em Teoria de Grafos, um automorfismo é um mapa que preserva a estrutura do grafo, unindo vértices.
  • Em Geometria, automorfismos são entendidos como representações semelhantes do espaço, sendo tratadas como isometrias.

Em certas estruturas algébricas, como grupos e anéis, é possível diferenciar certos automorfismos pela sua forma, ou acção, no grupo inicial. Vamos mencionar estes tipos de automorfismos no próximo post.

__________________

(1) Entendendo um espaço vectorial como um grupo abeliano (V, +)
(2) Pode ser provado.

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