Mecânica e Física Quântica – História e Evolução da Física Quântica (Post #3)

Bem vindo(a) ao terceiro post da série em História e Evolução da Física Quântica.

Voltando ao tópico da absorção e emissão de radiação por um corpo negro, é bom relembrar que um corpo negro emite toda a potência a uma certa temperature T. Wien, usando argumentos puramente clássicos, chegou a uma fórmula que relaciona a emitância espectral I(\lambda) como uma função do comprimento de onda como I(\lambda) = \frac{ae^{- \frac{ \sigma}{\lambda t}}}{\lambda^{5}}. A intensidade da radiação é simplesmente definda como a soma de todas as contribuições de emitância espectral ao longo de todos os comprimentos de onda i.e. I = \int_{0}^{\infty} I(\lambda) d \lambda. Desta lei, sai que \lambda_{m}T = b := 2.9 \times 10^{3} mK. Esta constante é chamada de constante de Wien. Aqui \lambda_{m} é o valor predominante do comprimento de radiação emitido. Esta lei diz que o comprimento de onda de um corpo negro no qual ele emite mais intensamente é inversamente proporcional à temperatura T!

A Lei de Rayleigh-Jeans chegou a resultados semelhantes, em particular que E(\lambda , T) = \frac{2LkT \delta \lambda}{\lambda^{2}} quando n>>1 e I(\lambda, T) = \frac{2 \pi lkT}{\lambda^{4}} quando \lambda << 2L.

Este resultado (pelo menos qualitativo) pode ser derivado da distribuição de Planck, como veremos mais abaixo.

Neste gráfico, da frequência \nu vs a intensidade I, repara-se que a lei (empírica) de Wien e a de Rayleigh-Jeans dão bons modelos para comprimentos de onda muito altos e muito baixos (respectivamente). No entanto, nenhuma deduz que existe uma intensidade máxima (correspondente a um comprimento de onda \lambda_{m}) com um comportamento dado por curvas “de sino”. Plank conseguiu um modelo bem mais realista – mas as premissas dele foram um tanto radicais!

Olhando para o gráfico, repara-se que a lei de Rayleigh-Jeans deixa de dar resultados compatíveis com os observados para frequências muito elevadas – ou seja para comprimento de onda muito pequenos. Tais radiações estão situadas do ultravioleta (UV) para cima, como raios x ou raios gama. Este facto é conhecido como a Catástrofe Ultravioleta, devido a esta situação.

O brilhantismo de Planck

Planck tentou entender realmente como modelar e resolver este problema. Começou por assumir que a energia emitida apenas o podia ser em pequenos “pacotes” de luz. Matematicamente, \Delta E = h \nu, onde h é a cosntante de Planck, medida posteriormente. Plank também reparou que existe uma correspondência entre a energia da radiação e as paredes da cavidade do corpo negro.  Os átomos deste comportar-se-iam como pequenos osciladores harmónicos simples. A lei de Planck estimava então que I(\lambda) = \frac{2 \pi h c^{2}}{\lambda^{5} e^{\frac{hc}{\lambda k t} }-1} Repara que para \lambda \rightarrow \infty, a fórmula é compatível com Rayleigh-Jeans. No entanto, existe algo intrigante – sempre se supôs que  a energia fosse um contínuo, e não uma quantidade discreta. Este tratamento matemático – que Planck cedo apadrinhou como tal – encerrava uma explicação física para que tal acontecesse. Este foi o nascimento da Física Quântica e Planck, que por muitos anos lutou contra esta nova teoria, sendo da velha guarda conservadora – foi o seu pai. Oh doce ironia!

A distribuição de Planck para temperaturas distintas. Repara que o comprimento de onda máximo é não-infinito, algo que não acontece para as outras duas distribuições.

De Planck a Rayleigh Jeans:

Vamos verificar que o comportamento qualitativo estimado por Rayleigh-Jeans é uma aproximação de Planck.

Como \lambda = \frac{c}{v}, expresse-se a lei de Planck como a radiação em função do comprimento de onda \lambda – e obviamente da temperatura T. I(\lambda,T) = \frac{2c^{2}h}{\lambda^{5} e^{\frac{hc}{\lambda k T} -1}}.  Para temperaturas muito altas – respectivamente para \lambda grande, o termo exponencial aproxima-se de 0 – tornando-se uma contribuição pequeno. Isto justifica a ideia de aproximá-lo pelo seu polinómio de Taylor até à primeira ordem.

Relembra-te que para e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}. Esta expressão converge para todo o x (1) Defina-se então x := \frac{hc}{\lambda k t} e então e^{\frac{hc}{\lambda k t}} = 1 + \frac{hc}{\lambda k T}. Então \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k t}} -1} \approx \frac{1}{\frac{hc}{\lambda k T}} = \frac{\lambda k T} {hc}. Substituindo na expressão inicial, tem-se que a aproximação resulta em I(\lambda,T) = \frac{2ckT}{\lambda^{4}} – o que está bastante próxima da lei de Rayleigh-Jeans, especialmente no que concerne á sua dependência a \lambda.

Ondas: Chegando a uma Teoria Unificada

O optimismo dos Físicos durante o final do século XIX era notório. Um dos problemas mais complexos de se tratar tinha sido recentemente correctamente abordado pelo Físico Maxwell, que, pela sua Teoria de Campos, unificou a teoria eléctrica e magnética, usando o conceito de ondas como perturbações num campo universal, causado pela existência de cargas, currentes ou alterações de fluxo magnético. Para entender este formalismo, usou em larga parte resultados de Análise Vectorial – processos esses que são explicados na série Análise Vectorial e Electromagnetismo. Estas ondas eram entendidas como padrões espaciais ou temporais modelados por u(\vec{r},t) = Acos(\vec{k} \cdot \vec{r} \pm \omega t) = Re(Ae^{i \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t}). (2) Aliado a este conhecimento, a mecânica clássica explica com grande detalhe numérico os mais variados casos encontrados.

Não se pode esquecer que outro parte de gigante já tinha sido dado nesta altura, a inacreditável teoria de Termodinâmica Clássica, derivada em grande maioria por Boltzmann, trouxe resultados incríveis vistos de uma pespectiva puramente termodinâmica.

Uma onda plana, que é descrita como Acos( kx - \omega t). Pode ser entendida como a parte real de uma onda complexa Ae^{ikx}. Repara como as frentes da onda são perpendiculares à direcção de propagação. Que importância tem este facto? Considera a equação dada na secção de ondas para u(\vec{r},t).

___________

(1) Para ser mais técnico, o seu raio de convergência é infinito tanto nos reais como nos complexos!

(2) Aqui, \vec{k} representa um vector da onda, onde a sua magnitude é o número de onda k = \frac{2 \pi}{\lambda} e Re denota a parte real de uma quantidade complexa.

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