Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #5)

Pelo que se fez no post passado, temos agora uma maneira de poder avaliar o integral num certo campo escalar ou vectorial. Estes processos são generalizações do que se comummente se produz quando se avalia um integral na linha real. Onde é que se generaliza? É que a forma geomemétrica – a curva – por onde se integra deixa de ser necessariamente uma segmento de recta (ou seja, de [a,b] \subset \mathbb{R}.

Será que o conceito “normal” de integral ao longo de um segmento de linha pode ser deduzido do geral?

A nossa curva \mathcal{C} é uma linha de [a,b]. Uma forma intuitiva de a parametrizar é de usar a função \gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto a + (b-a)t (e funciona: para \gamma(0) = a, \gamma(1) = b). Então usando a nossa fórmula, \int_{\mathcal{C}} f = \int_{0}^{1}f(\gamma(t))||\gamma ' (t)||dt e notando que \gamma ' (t) = (b-a). Usando integração por substituição, substituindo x := \gamma(t), \frac{dx}{dt} = \gamma ' (t) e então dt = \frac{1}{\gamma ' (t)} dx , portanto \int_{0}^{1} f( \gamma (t)) || \gamma ' (t)||dt  = \int_{a}^{b} f(x)dx. Voila! (1)

Gradiente

O gradiente generaliza a noção de declive de uma função para uma superfície em \mathbb{R}^{n}. Lê esta secção em conjunção com o que podes encontrar neste post em Electromagnetismo.

Definição 1: (Definição do operador gradiente)

Seja f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável. Então o mapa \nabla f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} dado por x \mapsto \nabla f(x) = (\partial_{1}f(x), \partial_{2}f(x),...,\partial_{n}f(x)) é designado de gradiente de f no ponto x.

Campos gradientes

No entanto, há campos muito especiais. O facto de certos campos vectoriais serem o resultado do gradiente de um campo escalar traz muitas propriedades interessantes.

Definição 1: (Definição de um campo vectorial gradiente)

Seja D \subset \mathbb{R}^{n} e \phi : D \rightarrow \mathbb{R} um campo escalar diferenciável. Um campo vectorial f : D \rightarrow \mathbb{R}^{n} é um campo vectorial gradiente se existir \phi com f(x) = \nabla \phi(x), \forall x \in D. Se tal for o caso, \phi é normalmente chamado de potencial do campo vectorial.

Repara que, pela definição, fixando um campo vectorial, o potencial não é único: se \phi satisfaz a definição 1, o potencial \phi + c, c \in \mathbb{R} também a satisfaz. É natural esperar que a definição seja “própria” no sentido em que nem todos os campos vectoriais sejam gradientes. Tenta encontrar um potencial para o campo vectorial f(x_{1},x_{2},x_{3}) = (x_{3},x_{3},x_{2})!

Como é também de esperar, a integração de campos escalares oferece uma generalização tanto nos conceitos como nos resultados já provados para ánalise real. Segue a generalização do Teorema Fundamental do Cálculo (2)

Teorema 1: (Teorema Fundamental do Cálculo para campos vectoriais gradientes)

Seja \phi : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} um campo escalar diferenciável, \mathcal{C} \subset \mathbb{R}^{n} uma curva com parametrização diferenciável \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} e ainda f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} um campo vectorial com f = \nabla \phi. Então \int_{\mathcal{C}} f = \phi(\gamma(b))- \phi(\gamma(a))

Demonstração:

Considera (\phi(\gamma(t)))' = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}(\gamma(t)) \frac{d \gamma_{i}(t)}{dt} = \nabla \phi(\gamma(t)) \cdot \gamma ' (t). Calculando o integral \int_{\mathcal{C}} f = \int_{a}^{b} f(\gamma (t)) \cdot \gamma ' (t) dt = \int_{a}^{b} (\phi(\gamma(t))'dt = \phi(\gamma(b))-\phi(\gamma(a)). Repara que no primeiro passo se usou regra da cadeia para derivar e no último o Teorema Fundamental do Cálculo aplicada em \mathbb{R}. \square

Vamos tentar demonstrar a fórmula para um campo tridimensional: \int_{\mathcal{C}}f = \int_{\mathcal{C}} f \cdot d \vec{s} \int_{a}^{b} \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{dz}{dt} dt = \int_{a}^{b} \frac{d}{dt} \phi(x(t)), y(t), z(t))dt = \phi(\gamma(b))- \phi(\gamma(a)), onde \gamma(t) = (x(t),y(t),z(t)).

Informalmente, este Teorema diz que o integral ao longo de uma curva entre dois pontos num campo vectorial gradiente é simplesmente a diferença do valor do potencial entre os pontos. Isto é algo remarcável: este resultado verifica-se para qualquer curva que una os pontos!

No exemplo do post passado, sobre um campo gravítico, chegámos à conclusão que \int_{\mathcal{C}} f = 2mg, integrando pela fórmula. Repara como chegamos á mesma solução usando o teorema que agora provámos:

É fácil reparar que um potencial para o campo vectorial dado pode ser o seguinte: \phi(x,y) = -mgy. Como o trabalho é dado por - \int_{\mathcal{C}}f, calculando a diferença entre os potenciais – dos pontos (0, -1) e ( \pi, 1) chega-se ao resultado: - (\phi(\gamma(\pi)) - \phi(\gamma(0))) = mg(cos(\pi) - (-1)) = 2mg.

Um artigo bem claro e ilustrativo do assunto pode ser encontrado aqui.

___________

(1) Fica o teorema que garante integração por substituição: Seja I \subseteq \mathbb{R} e g : [a,b] \rightarrow I uma função de classe \mathcal{C}^{1} e f : I \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe \mathcal{C}^{0}. Então \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(g(t))g'(t)dt

(2) Caso não te lembres: o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que se f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} for de classe \mathcal{C}^{0} e se F = \int_{a}^{x} f(t)dt, então F é de classe \mathcal{C}^{0}, diferenciável no intervalo ]a,b[ e F'(x) = f(x), \ \forall x \in (a,b). Como corolário, \int_{a}^{b} f(t)dt = F(b) - F(a)

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