Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #4)

Um dos objectivos fulcrais da Análise Vectorial é o de extender, assim como se fez para o conceito de diferenciabilidade, o conceito de integrar. Como fazer sentido de tal ideia? Sabemos que o conceito de derivada tem algo a ver com a velocidade com que a função – ou o campo – muda. No entanto, o conceito intuitivo de um integral é como uma medida de área, medido num intervalo em \mathbb{R}. Como chegar a tal generalização?

Supõe que, para um campo escalar u : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, com x \mapsto u(x) = 1, se integra ao longo de uma curva \mathcal{C} parametrizada por uma função \gamma. Mesmo sem saber como o fazer, é de esperar que tal operação retribua o comprimento da curva \mathcal{C}. Da mesma maneira, se se integrar uma medida de densidade ao longo da curva é de esperar que se obtenha a “massa” total da curva.

Integral de linha

Definição 1: (Definição de um integral de linha escalar)

Seja \mathcal{C} \subset \mathbb{R}^{n} uma curva parametrizada por uma função \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} de classe \mathcal{C}^{1} (1). O integral de linha de um campo escalar f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} ao longo da curva \mathcal{C} é dado por \int_{\mathcal{C}} f = \int_{a}^{b} f( \gamma(t)) || \gamma ' (t)|| dt

Visualização do processo utilizado na definição, num campo escalar f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}. A curva é parametrizada por uma função continuamente diferenciável (por quê tal condição? – Repara na fórmula!)

Exemplo básico: o comprimento de uma circunferência

Como vimos no post passado, parametrizando uma circunferência por \gamma : [0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto \gamma{t} = (Rcos(t),Rsin(t)). Sendo assim, \gamma ' (t) = (-Rsin(t),Rcos(t)) e então ||\gamma ' (t)|| = \sqrt{(-Rsin(t))^{2} + (Rcos(t)^{2}} = \sqrt{R^{2}} = R. Então aplicando a fórmula da definição 1 obtém-se que \int_{\gamma} 1 = \int_{0}^{2 \pi} || \gamma ' (t)||dt = 2 \pi R. Acho que este resultado já nos é bem conhecido!

Integrais de linha vectoriais

Da mesma maneira que se pode generalizar o conceito para um campo escalar, também é possível fazê-lo para um campo vectorial. A fórmula é bastante parecida. Vamos por partes, um exemplo ajuda.

Vamos supor que o campo vectorial é um campo de força: a cada ponto na curva (trajectória), uma certa força é aplicada ao corpo que a percorre. A pergunta natural de se perguntar é: qual é o trabalho total produzido enquanto a partícula percorre a curva? Vamos pensar num instante: Se a partícula estiver num ponto \vec{r}, então o trabalho produzido num deslocamento \vec{dr} é simplesmente dW = - \vec{F(r) \cdot \vec{dr}}. Assim o trabalho total é simplesmente o integral - \int_{\mathcal{C}} \vec{F} \cdot \vec{dr}, independentemente da maneira que se use para calcular tal quantidade.

Definição 2: (Definição de um integral de linha vectorial)

Seja \mathcal{C} \subset \mathbb{R}^{n} uma curva parametrizada por uma função \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} de classe \mathcal{C}^{1} (1). O integral de linha de um campo vectorial f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} ao longo da curva \mathcal{C} é dado por \int_{\mathcal{C}} f = \int_{a}^{b} f( \gamma(t)) \cdot \gamma ' (t) dt

Visualização da definição de um integral de linha vectorial: a ideia é somar todas as contribuições do campo vectorial na direcção da curva a cada ponto.

Um exemplo básico: o trabalho num campo (vectorial) gravítico

Vamos supor que o campo gravítico da Terra é dado por \mathcal{G} : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é dado por (x,y) \mapsto (0,-mg). Para uma trajectória \gamma:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, com t \mapsto (t,-cos(t)), o trabalho que é produzido para mover uma partícula de massa m do ponto (0,-1) para (\pi,1) é simplemente - \int_{\gamma} \mathcal{G} = - \int_{0}^{\pi} (0,-mg) \cdot (1, sin(t) dt = mg \int_{0}^{\pi} sin(t)dt = 2mg.

Para terminar o post, fica a seguinte pergunta: Parece que o integral definido para cada caso de um campo depende da função parametrizadora da curva. Será que esse é sempre o caso? Claramente que a direcção importa: se se parametrizar a curva no sentido \gamma(b) \rightarrow \gamma(a), o integral torna-se o negativo da parametrização \gamma(a) \rightarrow \gamma(b). No entanto, será que a maneira como uma curva (que pode ser de várias formas) é parametrizada tem influência no resultado final? É de esperar que não e isso pode ser provado.

Mas vamos ainda ver casos mais interessantes: para certos campos vectoriais, nem interessa que curva é considerada entre dois pontos: o seu integral é sempre o mesmo!

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(1) Relembra-te que uma função de classe \mathcal{C}^{1} é uma função cuja sua derivada é contínua.

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