Física Teórica – Electricidade e Magnetismo (Post #7)

Este é o sétimo post em Electricidade e Magnetismo.
No post passado começou-se a discutir a importância de uma certa operação que pode ser aplicada a um campo escalar. Este operador – o gradiente – é semelhante ao que se pode esperar a uma derivada de uma função de uma variável – que é um campo escalar de uma variável.

O exemplo dada foi ilustrativo – por ser em 3D – mas a sua generalização é fácil de ser feita.

Para um campo escalar f = f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) (1), o operador gradiente, \nabla (f) = \nabla f é um campo vectorial definido por \nabla f(x_{1},x_{2}, ... ,x_{n}) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, ... , \frac{\partial f}{\partial x_{n}}) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}e_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}}e_{2} + ... + \frac{\partial f}{\partial x_{n}}e_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}e_{i}. Onde e_{i} corresponde ao versor de x_{i} – ou seja, de um vector de magnitude unitária na direcção de x_{i}.
Repara ainda que d \vec{l} = (dx_{1},dx_{2},...,dx_{n}) e que pelo mesmo raciocínio do post passado se chega a que uma diferença infinitesimal df corresponde a df = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}dx_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}}dx_{2} + ... + \frac{\partial f}{\partial x_{n}}dx_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}. O ponto a reter é que df = \nabla f \cdot d\vec{l}.

Um caso especial

Supõe agora que não há variação no campo escalar ao longo do vector d \vec{l}. Logo df = 0; mas isso implica que \nabla f \cdot d \vec{l} = 0 e então d \vec{l} \perp \nabla f. Isto quer dizer que para contornos de f – superfícies onde o campo escalar é constante – o gradiente é perpendicular à superfície.

Linhas de contorno de um campo escalar bidimensional – repara como cada cor corresponde a contornos onde o campo é constante.

Mais tarde veremos que um campo vectorial que é o gradiente para um certo campo escalar tem propriedades muito especiais. Estas aplicações abstractas vão consolidar-se no Teorema Fundamental do Cálculo.

Um exemplo e respectiva visualização do campo escalar e vectorial (gradiente). O campo escalar é dado por f(x,y) = -( {cos(x)}^{2} + {cos(y)}^{2})^{2}

Exemplos de uso de gradientes em Física:

  • Se se registar a temperatura de uma sala, a cada seu ponto espacial, num campo escalar \phi,  então o calor flui pela direcção de - \nabla \phi
  • Semelhantemente, para um campo escalar de pressão P num certo volume, o transporte de matéria (como por exemplo via vento) flui na direcção - \nabla P.
  • O uso mais importante de gradientes deriva do formalismo de uma força em consequência de um potential V provocado por um campo. Mais concretamente, \vec{F} = \nabla V.
  • Mais concretamente, tal caso pode ser encontrado em Electrostática como iremos ver: a força electrostática \vec{F_{e}} que é sentido numa posição no espaço é o gradiente do potencial entre a origem do campo e esse ponto, ou seja  \vec{F_{e}} = - \nabla V

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(1) Aqui os x_{i} representam coordenadas. A notação é usada mais habitualmente. Imagina criar n letras para designar cada variável!

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