Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #3)

Vamos aventurarmo-nos num processo mais analítico que nos vai permitir descobrir as maravilhas da Análise Vectorial. Vamos primeiro distinguir entre campos vectoriais e escalares e introduzir a ideia de curva parametrizada.

Definição 1: (Definição de campo escalar e vectorial)

Seja D \subseteq \mathbb{R}^{m}. Uma função f : D \rightarrow \mathbb{R}^{n} é um campo vectorial se n > 1. Se n=1, então o campo é escalar.

Em termos simples, a diferença entre um campo vectorial e um escalar é que o vectorial associa, a cada ponto x \in \mathbb{R}^{n} um vector y \in \mathbb{R}^{m} (não necessariamente na mesma dimensão do espaço ) enquanto que um campo escalar associa um escalar – um número x \in \mathbb{R} a cada ponto de um espaço euclideano \mathbb{R}^{n}.

Quatro exemplos de campos vectoriais f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Estes campos podem ser visualizados através do seguinte esquema: a cada ponto (x,y), desenha-se o vector correspondente ao associado pelo campo. Tenta desenhar tu mesmo! Tenta recriar o processo para alguns pontos fáceis: alguns campos têm simetrias.

Definição 2: (Definição de derivada direccional)

Seja f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} um campo escalar no ponto x \in \mathbb{R}^{n}. A derivada direccional D_{y}f(x), na direcção de y \in \mathbb{R}^{n} é dada por D_{y}f(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x+ty)-f(x)}{t}.  Esta derivada é a derivada da função f(x) ao longo do vector y no ponto x.

Repara que esta definição permite que o parâmetro t possa convergir para 0 pela esquerda e pela direita i.e. t \rightarrow 0, com t > 0 e t \rightarrow 0 com t < 0.

Repara nas linhas tangentes à superfície do campo vectorial f(x,y) = \frac{3sin(x)sin(y)}{xy}. À medida que a direcção do vector no plano x-y varia, o plano que lhe é perpendicular interseca com o campo escalar. O declive da recta que é a intersecção entre o plano e o campo dá a derivada direccional.

Curvas parametrizadas

O grande triunfo da álgebra em \mathbb{R}, associada a um sistema de coordenadas, é o de poder entender a geometria, que muitas vezes tomamos como ilustrativas. Uma das maneiras de obter tais resultados é através de uma parametrização.

Uma  curva parametrizada é um mapa \phi: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^{n}, onde [a,b] é um intervalo (fechado) em \mathbb{R}. O parâmetro da curva, \phi = \phi(t) dá a “posição” da curva num instante t. A derivada \phi(x)' dá o vector velocidade num tempo $latx t$.

Repara em alguns exemplos:

Círculo

Podemos parametrizar o círculo usando Trigonometria básica: para cada ponto sobre a circunferência, existe uma distância do ponto à origem ( o raio) e uma distância horizontal e vertical perpendicular a cada um dos eixos x e y.

Para cada ponto (x,y) sobre a circunferência, ele corresponde sempre a (Rcos \theta, Rsin \theta) em que \theta é o ângulo entre a o vector (x,y) e o eixo horizontal.

Então uma parametrização do círculo pode ser a função \phi : [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, t \mapsto \phi(t) = (Rcos(t), Rsin(t)).

Repara que se o círculo não está centrado na origem, a parametrização toma a forma \phi(t) = (a_{x} + Rcos(t), a_{y} + Rsin(t)) onde a = (a_{x},a_{y}) \in \mathbb{R}^{2} é a origem do círculo.

Hélice

Este caso não é mais difícil do que o círculo, visto que uma hélice é a projecção horizontal de um círculo! À medida que t varia, porque não associar uma altura ao ponto x \in \mathbb{R}^{3}?

Usando o mapa \phi : [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto f(t) = (Rcos(t),Rsin(t),t).

Um exemplo mais reboscado: o helicóide, a superfície gerada por uma hélice, pode ser parametrizada por [0,1] \times [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, com (s,t) \mapsto f(s,t) = (scost(t),ssin(t),t).

Para visualizar melhor, dá uma vista de olhos neste site.

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