Física Teórica – Electricidade e Magnetismo (Post #6)

Este é o sexto post em Electricidade e Magnetismo.

Neste post vamos avançar no conceito de campo. Este conceito penetra em praticamente quase todas as áreas de Física. É necessário compreendê-lo bem.

O conceito de força é fundamental no Universo. Este trata de interacções entre matéria. Uma maneira prática – e até pictórica – de definir a ideia de um campo no espaço é de associar uma manifestação de uma força como uma perturbação num campo universal embutido no espaço. Esta maneira de enquadrar o fenómeno explica até algo que sabemos acontecer – as interacções não são instantâneas, mesmo que altamente rápidas. Newton não via as coisas desta maneira – a Física funciona como forças em que acções são instantâneas sobre uma distância. Não é algo razoável de esperar. A velocidade destas “perturbações”, pelo menos no vácuo é conhecida pela velocidade da luz, c. É uma velocidade estonteante: c = 300000000 m/s = 3 \times 10^{8} m/s. Isto é absurdamente veloz. (1). Falo aqui de interacções de natureza electrica e magnética.  Acontece que isto não vem por coincidência. Estas perturbações podem até ser visualizadas como “ondas” provocadas neste “campo” que permeia o Universo.

Por vezes é útil visualizar o conceito de uma interacção via um campo como uma transferência de uma onda de um local para outro. Esta onda é o resultado de uma perturbação no campo e a sua descripção, como velocidade, energia ou momento linear quantifica as propriedades do campo.

As ondas de um campo armazenam energia

O conceito de campo é útil em explicar como é que a energia eléctrica ou magnética (neste caso) é transmitida ou adquirida. Um exemplo trivial: se se agarrar em dois magnetes com os seus polos invertidos (ou seja um em N-S e outro em S-N) e se rodar um em 180 graus para (N-S e N-S), certamente que foi necessário aplicar força mecânica ao magnete para que ficasse nessa posição. Ao largar, o magnete volta à configuração inicial. Uma explicação satisfatória é que a energia mecânica aplicada foi armazenada no campo para que fosse utilizada de novo a voltar á posição inicial (ideal).

Num exemplo mais rebuscado, se fosse possível rodar ambos os magnetes tão rapidamente de modo a que a velocidade fosse superior à velocidade de transmissão da interacção, cada magnete “sentiria” a força do outro como este estava inicialmente. Mas a sua posição relativa não foi alterada mas energia mecânica foi aplicada a ambos. Uma explicação é de que a energia mecânica foi “absorvida” pelo campo magnético no espaço entre os magnetes.

De facto, existe uma área toda em Física Teórica que devota os seus esforços em compreender o formalismo matemático de campos onde a Mecânica Clássica é ou pode ser aplicada: a Teoria de Campos Clássicos.

Os campos mais estudados incluem os campos electromagnéticos – descritos matematicamente por James Clerk Maxwell e a Teoria da Relatividade Geral de Einstein.

Vários formalismos são usados, como o Lagrangiano e o Hamiltoniano, que não vou estar aqui a dissecar. (2)

Esta parte representa um pequeno passeio antes de começarmos a por a mão na massa. Vamos entender melhor primeiro como tratar e manipular campos.

 

Gradiente

Sabemos que para uma função f(x) (de apenas uma variável explícita x), a derivada de f, denotada por \frac{d}{dx}f(x) = f'(x) é uma função que dá a “inclinação” de uma curva definida num ponto. O objectivo é generalizar o resultado para campos escalares de n dimensões, i.e. f = f(x,y,z,...)n argumentos.

Por simplicidade, assume que f=f(x,y) – como se se tratasse de uma montanha num campo, em que x,y representam as coordenadas de um ponto sobre a Terra e f(x,y) a elevação do terreno nesse ponto (x,y). Se definires d \vec{l} = (dx,dy) como um elemento de distância horizontal, então \frac{df}{dl} pode ser entendida como uma variação (infinitesimal) da altura da montanha. Parece ser tudo do mesmo saco como no caso unidimensional mas há um pequeno caveat : d \vec{l} é um vector e portanto possui uma direcção, assim como magnitude. O conjunto de todas as rectas tangentes – ou seja o conjunto de todos os elementos d \vec{l} possíveis – formam um plano inclinado. De todos as direcções possíveis, o maior valor da derivada tem de ser tomando o caminho para cima ao longo da inclinação. Para qualquer outra direcção, \frac{df}{dl} = (\frac{df}{dl})_{maximo}cos(\theta), onde \theta representa o ângulo (positivo) entre a direcção escolhida e a direcção normal – i.e. perpendicular – aos contornos do campo. Repara na figura.

Assume que x,y são as coordenadas de um local sobre a Terra (assume que é plana) e que f(x,y) dá a elevação no ponto (x,y). Neste gráfico, as linhas desenhadas são contornos – pontos (x,y) para o qual a elevação é constante. A inclinação num ponto em S pode ser calculada como uma linha a sair em qualquer direcção – visto que formam um plano. O valor máximo é obtido tomando a direcção \vec{n}.

 

Com estes conceitos em cima da mesa, podemos ver facilmente que há um objecto que pode ser definido analogamente á derivada unidimensional. Define um campo vectorial \nabla f como sendo um campo onde:

  • A cada ponto (x,y), \nabla f(x,y) seja um vector cuja magnitude seja (\frac{df}{dl})_{max}
  • A sua direcção seja a direcção da maior inclinação.

É fácil pela definição ver como é que este vector é representado por componentes: na direcção x, fixando y, encontra-se que a tangente à medida que x muda é dada pela derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}. A componente y é semelhantemente definida. Então \nabla f = ( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})

Esquema visual para a próxima proposição. Repara que o gradiente do plano tangente de um ponto é igual ao gradiente da função nesse ponto.

Repara agora neste facto! A equação do plano tangente num ponto X = (x_{0},y_{0}) é dada por T(x,y) = f(x_{0},y_{0}) + \alpha (x-x_{0}) + \beta (y-y_{0}). O gradiente de T(x,y) é o mesmo que f(x,y) em X. Derivando a equação do plano em x e y, obtém-se que \alpha = \frac{\partial f}{\partial x} e que \beta = \frac{\partial f}{\partial y}. Assume agora que x está na vizinhança de x_{0} e então dx = x - x_{0} (semelhante para y). O plano tangente tem de ser coincidente com a função, e então df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy. No entanto, \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) e d \vec{l} = (dx,dy) e então df = \nabla f \cdot d \vec{l} (3)

Veremos mais alguns factos e exemplos no próximo post.

___________

(1) É possível que escreva um dia uma série em Relatividade Especial e/ou Geral. Neste ramo teórico, chega-se à conclusão que c representa a velocidade última do Universo!

(2) Vou preparar uma pequena série neste formalismo em conjunção com Cálculo de Variações. Esta é uma das áreas que mais se complementa com a Física – visto que trata da teoria a um nível muito abstracto e inclui uma maneira geral de considerar qualquer campo – que é passível de ser aplicado em acções provocadas por um potencial eléctrico ou magnético.

(3) Repara como a quantidade é um escalar (que é o desejado) e como as duas quantidades do produto escalar são vectoriais – o gradiente é um campo vectorial, assim como o vector d \vec{l}.

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