Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #25)

Este é o vigésimo quinto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.

A formulação teórica de grupos deixa desvendar mais sobre o seu fundamental espírito geométrico. É preciso começar com algumas definições “secas”. Pelos últimos posts, é fácil aperceber-se por que razão subgrupos normais são tão úteis. Uma maneira de poder capturar a “distância” a que um subgrupo está de ser normal é de estudar conjugados de subgrupos.

Definição 1: (Definição de um conjugado)

Para um subgrupo H, o seu conjugado H^{x}, com x \in G representa o conjunto H^{x} = x^{-1}Hx.

Por esta definição, é fácil notar que um subgrupo H é normal se e só se o conjugado x^{-1}Cx represente apenas um conjunto : H, para qualquer elemento x \in G. Igualmente útil é reparar que o conjugado de um elemento y \in G é simplesmente y^{x} = x^{-1}yx. Neste caso, a definição de conjugação é dada pela definição 2.

Definição 2: (Definição de elemento conjugados)

Sejam $g,h \in G$. Diz-se que g é conjugado de h se e só se \exists k \in G tal que g =khk^{-1}. Repara que a definição é simétrica: a condição é equivalente a que h = {k^{*}gk^{*}}^{-1} em que k^{*} = k^{-1} – tal substituição devido a (G3) que garante a existência de inversas no grupo.

O resultado interessante de tal definição é de que é possível particionar conjugados num grupo fixo G! Define a relação de equivalência H R K se e só se H é conjugado de K. Esta relação de equivalência induz classes, chamadas de classes de conjugação.

Definição 2: (Definição de um normalizador)

Se H é um subgrupo de G, então o normalizador de H é \{ x \in G \ | \ xHx^{-1} = H \}. Tal conjunto é denotado por N(H). Caso o conjugado seja de um elemento, falamos de um centralizador.

Teorema 1:

Seja R uma relação de equivalência definida em G dada por x R y \Leftrightarrow zx R kx, \forall z, k, x\in G. Então [e] é um subgrupo de G e as classes de equivalência são exactamente as classes laterais direitas de [e] em G.

Demonstração:

Claramente que [e] é um subgrupo, visto que se x,y \in [e], então xex^{-1} = yey^{-1}. (xy)e(xy)^{-1} = xyey^{-1}x^{-1}= xyy^{-1}x = e Portanto xy R [e]. Este subrupo é claramente o normalizador N(H).

Como x R y implica xy^{-1} R e, as classes de equivalência são exactamente as classes laterais direitas do subgrupo [e]. \square

De facto o normalizador é mais que um conjunto – é um subgrupo de G – algo rotineiro de demonstrar. Isto implica que o normalizador de um subgrupo N(H) é o maior subgrupo normal de G no qual H é normal.

Com isto, tem-se que

Corolário 1:

O número de conjugados k de H é o índice de N(H) em G.  Mais ainda, tem-se que k | |G|.

Vou tentar arranjar explicações mais concretas do que estes conceitos representam no próximo post. A ideia estará mais assentada quando se apresentar mais dois conceitos semelhantes, aplicados à ideia de uma acção-G – uma acção sobre um grupo G.

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