Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #24)

Este é o vigésimo quarto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.

No post passado, uma nova maneira de entender um grupo foi explicada: admitindo um subgrupo normal N de um grupo G, é possível descrevê-lo como uma união disjunta de classes laterais (esquerdas ou direitas) , ou seja de todas as partições gN (ou Ng), representadas por elementos g \in G. O conjunto de todas estas classes laterais é por si um grupo. (1) Prossigamos então com alguns exemplos.

  1. Vamos tomar como grupo os números inteiros \mathbb{Z} munidos de adição. Repara que o grupo é então abeliano e então qualquer subgrupo de um grupo abeliano é normal. Toma então como subgrupo normal N = n \mathbb{Z}, n \in N. Então as classes laterais serão da forma g + n \mathbb{Z} (assume a notação aditiva dado que o grupo é abeliano). É fácil reparar que tomando g = 0,1,2,...,n-1, as suas respectivas classes laterais particionam \mathbb{Z}. De facto pode dizer-se mais! O quociente formado, \mathbb{Z} \slash n \mathbb{Z} tem de ser isomórfico a \mathbb{Z}_{n}. Tenta visualizar a ideia: associa cada classe lateral [g] a g em \mathbb{Z}_{n}, sobre adição módulo n. Este resultado é consequência de um teorema mais geral e importantíssimo d Álgebra (2) – O Primeiro Teorema de Isomorfismos.
  2. Considerando os números reais \mathbb{R} sob adição e o subgrupo \mathbb{Z}, as classes laterais de \mathbb{, Z} em \mathbb{R} são conjuntos de forma g + \mathbb{Z}, com 0 \leq g < 1, g \in \mathbb{R}. Adicionar estas classes laterais é fácil: somando as partes reais e subtraindo 1 se sua soma for igual ou superior a 1. Este quociente é isomórfico ao grupo S^{1} – o grupo de todos os números complexos x \in \mathbb{C} tal que |x| = 1, sob multiplicação.

Teorema 1: (Primeiro Teorema de Isomorfismos)

Sejam G,H dois grupos e \phi : G \rightarrow H um homomorfismo. Então Ker(\phi) é um subgrupo normal de G, Im(\phi) um subgrupo de H e então G \slash Ker(\phi) \cong Im(\phi).

Demonstração:

As duas primeiras asserções já foram provadas sem dificuldade. O resto será feito por construção. Existe sempre uma bijecção \theta : G \slash Ker (\phi) \rightarrow Im (\phi) que garante “isomorficidade”. Por simplicidade, define ker(\phi) =: K.

Defina-se \theta (K x) = \phi(x) – cada classe lateral é devolvida à sua imagem sob o homomorfismo \phi : G \rightarrow H. Repara que esta definição não é à priori bem definida: e se dois elementos x e y \ \in G na mesma classe lateral Kx = Ky induzam imagens diferentes, i.e. e se \phi(x) \neq \phi(y)? Vamos provar primeiro que tal não é o caso:

Supõe que de facto Kx = Ky. Então xy^{-1} \in Ker(\phi) . Isto implica que \phi(xy^{-1}) = e = \phi(x) \phi(y^{-1} = \phi(x) \phi(y) ^{-1} e então \phi(x) = \phi(y). Ufa, safos!

O resto é simples: considera \theta(Kx Ky) = \theta (Kxy) = \phi(xy) = \phi(x) \phi(y) (visto que \phi é um homomorfismo) e então \theta(Kx Ky) = \theta(Kxy) = \phi(xy) = \phi(x)\phi(y) = \theta (Kx) \theta(Ky) forçando a que \theta seja um homomorfismo.

Também é sobrejectivo: se g \in Im(\phi), então \exists x \in G tal que g = \phi(x). Então \theta (Kx) = \phi(x) = g.

Para terminar, \theta é também injectivo: se Kx \in Ker(\theta), então e = \theta(Kx) = \phi(x) e então x \in Ker(\theta). Conclui-se que Kx = Ke = Ker(\phi), a identidade em G \slash Ker(\phi).

Assim, \theta é um homomorfismo injectivo e sobrejectivo, portanto bijectivo e por conseguinte um isomorfismo. Então G \slash Ker(\theta) \cong Im(\phi). \square

 

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Um esquema pictórico para visualizar a proposição. Repara que o mapa de G \rightarrow H é homomórfico.e como Ker(\phi) é mapeado para a identidade de H.

_____________

(1) Este facto só é verificado se N for um subgrupo normal. A justificação assenta na multiplicação de classes laterais. Revê o lema 1 do post 23. Tomando Hx e Hy,  o que será o produto (Hx)(Hy) ? Como H é normal, xH=Hx e então SxSy = S^{2}xy = Sxy

(2) Acontece que a ideia da proposição é tão fundamental que este teorema é facilmente extensível a anéis, categorias ou mesmo reticulados  (lattice em Inglês) e álgebras.

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