Introdução a Teoria de Categorias (Post #2)

Neste post vamos dar mais exemplos de categorias e definir pré-categorias. Vamos entender como uma pré-categoria pode originar uma categoria.

Para visualizar uma categoria finita repara no esquema representativo. Uma categoria com objectos X,Y,Z e morfismos f,g induz uma composição g \bullet f. Lembra-te que como axiomas, estas são associativas e incluem os morfismo 1_{X}, 1_{Y}, 1_{Z} (que não estão representados no esquema)

Para um morfismo \psi \in Hom_{\mathcal{C}}(A,B):

  • A fonte de um morfismo src (\psi) = A é o objecto de partida de um morfismo.
  • O alvo de um morfismo tgt ( \psi) = B é o objecto de chegada de um morfismo.

… sempre que \psi : A \rightarrow B, com A, B \in Obj (\mathcal{C})

Definição 1: (Definição de uma pré-categoria)

Uma pré-categoria é uma estrutura semelhante à de uma categoria, excepto que a unicidade do tipo de um morfismo não é imposta.

Existe uma maneira de transformar uma pré-categoria numa categoria. Seja \mathcal{A} uma pré-categoria. Então, considerando cópias de morfismos e incorporando objectos src (\psi) e tgt(\psi), é possível construir uma categoria \mathcal{B}:

  • Se X \in Obj( \mathcal{A}) então X \in Obj(\mathcal{B})
  • Se \psi \in Hom (\mathcal{A}), tal que \psi : A \rightarrow B, então um morfismo de \mathcal{B} é definido como o triplo (A, \psi, B), com \psi : A \rightarrow_{\mathcal{A}} B
  • Um tipo para um morfismo \psi \in Hom(\mathcal{B})  \psi : A \rightarrow_{B}B  é dado por A = A' e B = B' onde (A', \psi', B') = \psi
  • A composição \bullet_{\mathcal{B}} é definido do seguinte modo: para uma composição \psi \bullet_{\mathcal{B}} \phi corresponde-se o triplo (A, \psi' \bullet_{\mathcal{A}} \phi', C), onde (A, \psi',B) = \psi e (B, \phi', C) = \phi.
  • id_{\mathcal{B}} (A) corresponde ao triplo (A, id_{\mathcal{A}}(A),A).

… e \mathcal{B} forma uma categoria. Este método permite conceptualizar uma pré-categoria como uma categoria. A maioria dos conceitos e teoremas aplicados a categorias podem ser aplicados a pré-categorias.

O primeiro exemplo de uma (pré)-categoria: Conjunto'

Consideranto Obj(Conjunto') como a colecção de todos os conjuntos e Hom(Conjunto') como funções totais (1), composição como composição de funções e identidade como função identidade, então a estrutura Conjunto' é uma pré-categoria. (2)

Repara então que usando o método explicitado, podemos converter Conjunto' a uma categoria Conjunto explicitando unicamente src( \phi) e tgt( \phi) para \phi \in Obj(Conjunto'). Como notação, repara que \psi(a) representa a aplicação do morfismo a um elemento do conjunto; ou seja, se A \in Obj(Conjunto) e a \in A, então \phi(a) é a imagem do morfismo \psi : A \rightarrow_{Conjunto}B com a \in A.

O segundo exemplo de uma categoria: gráficos orientados

Um grafo orientado é um grafo onde os vértices correspondem a nós e os segmentos entre vértices representam um certo tipo de relação. O facto de ser orientado vem do facto de que a ligação entre dois vértices não é bilateral: existe um sentido

Considerando esta categoria \mathcal{C}, se se definir Obj(\mathcal{C}) como o conjunto de todos os vértices num grafo orientado e Hom(\mathcal{C}) como todos os segmentos orientados, composição de morfismos como composição de segmentos orientados, identidade como segmentos vazios. Consegues provar que \mathcal{C} é mesmo uma categoria?

O terceiro exemplo – mais sofisticado – pré-ordens em conjuntos

O conjunto pré-ordenado \mathcal{A} = (A, \leq) é uma categoria. Relembra-te que uma pré-ordem é uma operação binária que seja transitiva e reflexiva. É denotada normalmente por \leq – não confundas com o “maior ou igual” nos números reais!

  • Os objectos Obj(\mathcal{A}) correspondem a elementos de A.
  • Os morfismos Hom( \mathcal{A} correspondem ao par (a,b) com a \leq b, a, b \in A.
  • A unicidade do tipo do morfismo:  (a,b) : c \rightarrow d quando a=c \wedge b=d
  • Composição pela regra (a,b) \bullet (b,c) = (a,c)
  • A identidade de um objecto a por id(a) = (a,a)

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(1) Uma função total é uma função “própria”: uma função parcial f é um mapa f : A \rightarrow B onde A e B são conuntos, em que existe um subconjunto A' \subseteq A tal que \forall x \in A' \exists f(x) \in B. Caso A=A', diz-se então que f é uma função total.

(2) Porque é que uma função parcial não força a estrutura a ser uma categoria? Pensa no seguinte: se os morfismos forem funções parciais, a composição de morfismos não é bem-definida, visto que o codomínio de \phi tem de ser igual ao domínio de \psi para uma composição \psi \bullet \phi : A \rightarrow C com \phi : A \rightarrow B e \psi : B \rightarrow C.

(3) Mais sobre pré-ordem aqui

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