Introdução a Teoria de Categorias (Post #1)

Bem-vindo à série em Teoria de Categorias, um ramo de Álgebra Abstracta, Lógica e Teoria de Conjuntos. Esta área é uma das mais recentes em Matemática teórica avançada – começou em 1942, por Samuel Eilenberg. Começou por ideias de topologia algébrica e representa uma abstracção demasiadamente geral para a descrição de vários conceitos absolutamente fundamentais e quase axiomáticos.

Esta série vai ter alguns traços diferentes: é uma série de investigação e não de exposição. Isto acontece porque Teoria de Categorias é realmente das áreas mais complicadas de Matemática Pura e só é introduzida para quem esteja a um nível médio em Topologia e Topologia Algébrica. Os posts serão então mais curtos e mais informais que os de Teoria de Grupos ou Anéis.

Essência de Teoria de Categorias

Uma categoria é uma colecção de informação que cede a alguns axiomas que dão uma estrutura verificada. Esta ideia é semelhante no uso em grupos e em anéis. O tipo de objecto é mais geral, no entanto. O exemplo clássico, que haveremos de provar, é a categoria de conjuntos, chamada de Conjunto, em que os objectos são conjuntos e os morfismos são mapas entre conjuntos.

“Teoria de Categorias é até o ramo mais geral e abstracto de Matemática Pura. O corolário de um nível elevado de generalidade e abstracção é que a teoria quase que não dá nenhuma assistência em resolver problemas mais específicos dentro de qualquer das suas subdisciplinas para as quais se aplica. É uma ferramenta para o generalista, e de pequeno benefício para o praticante”
Hoare 

Definição 1: (Definição de uma Categoria)

Uma categoria \mathcal{C} é uma construção que contém:

  • Uma classe de objectos Obj( \mathcal{C}) , denotados por A,B,C,....
  • Uma classe de morfismos, Hom( \mathcal{C}) também chamados de setas \alpha, \beta, \psi, \phi .... Um morfismo \phi A \rightarrow B denota-se por um um tipo de f
  • Uma operação binária  \bullet : Hom(A,B) \times Hom(B,C) \rightarrow Hom(A,C) em morfismos, chamada de composição; se \phi e \psi são dois morfismos, então \psi \bullet \phi = \psi \phi = \psi( \phi) . Esta operação    obedece a:
    (
    Associatividade)  Para \phi : A \rightarrow B, \psi : B \rightarrow C e \theta : C \rightarrow D, então  \theta \bullet ( \psi \bullet \phi) = (\theta \bullet \psi) \bullet \phi
    (Identidade) \forall X \in Obj( \mathcal{C}) \exists \ 1_{X} \in Hom( \mathcal{C}), tal que 1_{X} : X \rightarrow X tal que \forall \psi \in Hom(\mathcal{C}), \psi : A \rightarrow B, se tenha 1_{B} \bullet \psi = \psi = \psi \bullet 1_{A} 
    .

Alguns reparos:

  • Normalmente, uma categoria é definida pela colecção de objectos e não pelos seus morfismos. A linguagem de Teoria de Categorias é expressa por estes termos.
  • Em Hom ( \mathcal{C}), fixando A,B \in Obj ( \mathcal{C}), o subconjunto Hom_{\mathcal{C}}(A,B) denota a colecção de todos os morfismos de \mathcal{C} de A para B.
  • Usando estes axiomas, é possível provar que existe exactamente um morfismo de identidade para todo o objecto na classe Obj(\mathcal{C})
  • Estes morfismos, no entanto, têm algumas restrições. Existem três propriedades verificadas que introduzo na próxima definição por clareza:

Definição 2: (Definição de axiomas para morfismos)

Seja \mathcal{C} uma categoria e \psi um morfismo. Então, para objectos A, B,

  • \psi : A \rightarrow B e \psi : A' \rightarrow B' \Rightarrow A = A' e B = B' (unicidade do tipo)
    Este axioma refere que o domínio e contra domínio de um morfismo numa categoria é único.
  • f: A \rightarrow B e g : B \rightarrow C \Rightarrow f \bullet g : A \rightarrow C (composição do tipo)
  • Para cada objecto A, a existência de um morfismo chamado de morfismo de identidade em A, denotado por id_{A} : A \rightarrow A ou id(A), que denota a identidade de A.

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