Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #5)

Depois de termos dado a volta aos livros de História, e de ter já introduzido as definições e lemas básicos do que define um anel, o melhor que temos a fazer é mesmo dar alguns exemplos. Começámos com o rei dos anéis, os números inteiros Z, com as usuais operações binárias + e \times. Vimos no post 1, axioma por axioma, por que é que este triplo forma um anel. De facto, o conceito de anel é uma generalização dos inteiros. É um dos conjuntos mais importantes em Matemática. Vamos sondar mais alguns exemplos:

Alguns exemplos de anéis

  • Da mesma forma que \mathbb{Z}_{n} forma um grupo numa operação binária, é normal esperar que (Z_{n}, +, \times) forma um anel. (1)
    Repara que geralmente \mathbb{Z}_{n} não oferece inversas para todos os elementos g - \{ 0 \}. Em \mathbb{Z}_{4}, 3 possui inversa (3 \times 3 = 1) mas 2 não – não existe nenhum elemento g \in \mathbb{Z}_4 tal que 2g = 1.
  • Os números racionais \mathbb{Q} formam um anél também. A identidade é naturalmente 0, a unidade 1.
  • Os números reais \mathbb{R} formam também um anél. A identidade e a unidade são iguais como em \mathbb{Q}
  • Os números complexos \mathbb{C} forma igualmente um anel.
  • Anéis polinomiais R[x_{1},...,x_{i}] sobre um anel R : se x_{1}, x_{2}, ..., x_{i} forem variáveis, e I = (i_{1}, i_{2}, ..., i_{n}) , n \in N for um multi-índice tal que o monómio x^{I} = x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{n}^{i_{n}}, então expressões da forma $latex \sum_{I}{ \alpha_{I}x^{I}}$ , com \alpha_{I} \in R formam um anel. Dando como exemplo 8xyz^{2} - 4x + \frac{2}{3} y^{3}z^{2} \in \mathbb{Q}[x,y,z], os multi-índices de cada monómio não-zero é (1,1,2), (1, 0, 0), (0,3,2). Que operações binárias: a soma é definida como \sum_{I} \alpha_{I}x^{I} + \sum_{I} \beta_{I}x^{I} = \sum_{I} ( \alpha_{I} + \beta_{I})x^{I} e a multiplicação como (\sum \alpha_{I}x_{I})(\sum \beta_{J}x_{J}) = \sum_{I}\sum_{J} \alpha{I} \beta_{J}x^{I+J} = \sum_{L} \gamma_{L}x^{L}, com \gamma_{L} = \sum _{I+J = L}\alpha_{I}\beta_{J}. Com estas duas operações o sistema R[x_{1}, ..., x_{i}] é um anel comutativo com identidade (2)
  • Pensa agora no seguinte: um conjunto X e R um anel. Então o conjunto de funções definidas em X com imagem em R é um anel com as seguintes operações binárias: Adição por f(x) + g(x) = (f+g)(x) e f(x) \times g(x) = (f \times g)(x). (3)
  • Anéis de Endomorfismo: Se V for um espaço vectorial sobre um corpo K, o conjunto End_{K}(V) = Hom_{K} (V,V) de mapas lineares V \rightarrow V admite duas operações binárias: S(v) + T(v) = (S+T)(v) (adição) e multiplicação como S(T(v)) = ST(v) (na verdade, composição). Então End_{K}(V) é um anel.
Repara que em \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} todos os elementos do conjunto (excepto 0) admitem inversas multiplicativas: em \mathbb{Q}, se \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}, então (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}. Em \mathbb{R}  , a inversa de x \in \mathbb{R} é simplesmente x^{-1} = \frac{1}{x}. Em  \mathbb{C} , para um elemento z = x+iy, então o conjugado z^{*} = x-iy e então, definindo z^{-1} = \frac{z^{*}}{zz^{*}}. Assim, zz^{-1} = \frac{zz^{*}}{zz^{*}} = 1. Relembra-te que zz^{*} = x^{2} + y^{2} = |z|^{2}
E já é um número apreciável de exemplos!

Um pdf bastante ilustrativo dos diferentes tipos de anéis é este, que oferece bastantes exemplos e demonstrações. Dá uma olhada!

__________
(1) Para praticares ou aprenderes mais sobre cálculo de resíduos, com demonstrações dos factos, tenta este pdf
E porque não tentar provar, verificando os axiomas, que se trata realmente de um anél?

(2) Será que é um corpo? O que se poderia alterar para que o sistema admitisse inveras multiplicativas?

(3) Se X é um espaço métrico ou topológico e R é ou \mathbb{R} ou \mathbb{Q}, então o conjunto de funções contínuas com imagem em R, com estas operações binárias definida pontualmente é um anel.

 

 

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