Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #3)

Depois desta digressão sobre corpos, que já é familiar de Álgebra Linear, vamos familizar-nos com alguma notação. Relembra-te que um anel é um triplo (R, +, \times), em que R é um conjunto, + uma operação binária comutativa e \times uma operação binária (não necessariamente comutativa) tal que:

  • O duplo (R,+) seja um grupo (abeliano)
  • \times seja associativa: \forall a, b, c \in R, a \times ( b \times c) = (a \times b) \times c
  • + seja distributiva sob \times, ou seja, \forall a, b, c \in R, a \times (b + c) = a \times b + a \times c e (a + b ) \times c = a \times c + b \times c
  • Que exista um elemento 1 \in R tal que \forall g \in R, g \times 1 = 1 \times g = g

Relembra-te ainda que o elemento que serve de identidade em (R,+) é denotado de 0 e é chamado de identidade; já o elemento 1 é chamado de unidade.

Do post 1, sabemos que para a, b \in R, a, b são divisores zeros se a, b \neq 0 mas a \times b = 0. Se a \times b = b \times a = 1, a e b são invertíveis.

Sabemos ainda que um domínio (integral) é um anel comutativo sem qualquer divisor zero. Vimos que um anel de divisão é um anel em que todo o elemento que não seja a identidade tenha uma inversa em \times

Como exemplo, toma o anel de divisão conhecido como os quaterniões, H. Constrói o seguinte sistema algébrico: toma 1, i, j, k como vectores bases de um espaço vectorial 4- dimensional, definido por:

i^{2} = j^{2} = k^{2} = -1, ij = k, jk = i ki =j e ji = -ij, kj= -jk, ik = -ki. Então para a, b, c, d \in R, define H = \{ a + bi + cj + dk \}. Então H forma um anel de divisão.
Este facto assenta na ideia de que todo o elemento g \in H possui um outro elemento g^{-1} \in H (a inversa de g em H), tal que gg^{-1} = g^{-1}g = 1.
Repara: se h \in H, então h = a + bi + cj + dk. Define o conjugado de h por h^{*} = a - bi - cj - dk. É rotineiro calcular que hh^{*} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}. Agora define h^{-1} = \frac{h}{hh^{*}}.

Alguns reparos de notação

  • Tal como em Teoria de Grupos, as operações binárias + e \times são puramente arbitrárias, e a sua designação é feita por conveniência.
  • A operação \times é normalmente omitida, ou seja, o produto a \times b passa a ser designado de ab.
  • Mesmo que um anel seja rigorosamente um triplo (R, +, \times), dado o contexto ou explicação do exemplo, as operações binárias serão óbvias e então o anel será representado por R.

Continuando Teoria de Grupos

Muito do trabalho preliminar em Teoria de Anéis é derivado de Teoria de Grupos. Não é de espantar que os conceitos sejam semelhantes. No mesmo espírito em que definimos um subgrupo de um grupo, um subanel pode ser definido.

Definição 1: (Definição de um subanel)

Seja R um anel nas suas respectivas operações binárias. Um subanel de R, S, denotado de S \leq R, é um subconjunto de R tal que forme um anél nas mesmas operações binárias.
Um teste simples para que um simples subconjunto S \subseteq R seja um subanel é dado pelo seguinte teorema:

Teorema 1: (Teste de reconhecimento de um subanel)

Seja R um anel nas suas respectivas operações binárias e S um subconjunto com S \subseteq R. Então S é um subanel se e só se for fechado sobre \times e se 1_{R} \in S.
Demonstração:
Como um subgrupo de (R,+), (S,+) é um grupo abeliano, fechado sobre a multiplicação e que contém a identidade 0_{R}. É fácil verificar que o resto dos axiomas são verificados se e só se \forall g, h \in S, gh \in S e que 1_{R} \in S. \square
Este teorema é prático para reconhecer quando certos subconjuntos formam de facto um subanel. Outro facto importante – e fácil de provar – é que a intersecção de um subanel é um subanel.
Um esquema pode ajudar. Repara que, como cada subanel é fechado sobre a multiplicação, a intersecção de subaneis tem de ser um subanel. Repara ainda que o elemento 1 \in R está sempre contido em cada um dos subaneis (pelo último axioma) e então a intersecção contém a identidade

Lema 1: (A intersecção de um subanel é um subanel)

 Seja R um anel e S_{1}, S_{2}, ..., S_{k} subaneis de R. Então \bigcap_{i = 1}^{q} S_{i}, 1 \leq q \leq k forma um subanel.
 Demonstração:

Como 1_{R} \in S_{i} \forall i \leq k, 1_{R} \in \bigcap_{i = 1}^{k} S_{i}. Falta apenas provar que \bigcap_{i = 1}^{q} S_{i} está fechado sobre a multiplicação de R. Assume que g \in \bigcap_{i = 1}^{q} S_{i}. Então g \in S_{i}, \forall i \leq k; de maneira semelhante, se h \in \bigcap_{i = 1}^{k} S_{i}, h \in S_{i} \forall i \leq k. Como S_{i} é um subanel, e g, h \in S_{i}, então gh \in S_{i} \forall i \leq k e então gh \in \bigcap_{i = 1}^{k} S_{i}. \square

Definição 1: (Definição da característica de um anel)

Seja R um anel. A característica de R, denotado de char ( R ) é o número inteiro positivo mais pequeno tal que n \times 1 = \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{n \ vezes} = 0. Se tal n existir, então char ( R ) = n. Caso contrário, char ( R ) = 0 (2)

 Como um reparo, fica que para um corpo, a sua característica é sempre ou 0 ou p, um número primo.

_________________
(1) Tenta provar
(2) Numa base mais teórica, char ( R ) = n corresponde ao número n tal que nZ seja o núcleo de um homomorfismo \phi : Z \rightarrow R.

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