Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #23)

Este é o vigésimo terceiro post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.

Temos vindo a desenvolver teoria e conceitos que nos vão permitir provar alguns resultados bem interessantes. Um deles é que é possível “dividir” grupos entre si. O conceito de grupo quociente vai ser tratado neste post. Vimos que, quando um grupo G e um subgrupo H é dado, é possível particionar o grupo em classes, chamadas de classes laterais. Estas classes são precisamente as classes de equivalência de uma relação induzida da seguinte forma: xRy se e só se xy^{-1} \in H (para classes laterais direitas), x^{-1}y (para classes laterais esquerdas). Ao introduzir o conceito de normalidade num subgrupo, deixei em aberto que é este tipo de objecto que permite criar um novo tipo de grupo, a partir do grupo e do seu subgrupo. Vamos lá então:

Um grupo de classes

Sabemos então que classes laterais formam classes de tal maneira a que todo o elemento do grupo pertença a uma (e apenas uma) e que se duas classes contenham um mesmo elemento, então que elas sejam a mesma. São então disjuntas. Vamos então considerar um grupo G, um subgrupo H e as classes laterais (direitas) (1). Suponhamos que G = a_{1}H\sqcup a_{2}H \sqcup ... \sqcup a_{r}H. Toma agora as r classes laterais diferentes. Será que é possível criar um grupo que tenha como elementos estas classes laterais? Vamos chamar este grupo provisoriamente de Q (2). Que operação binária fará estes elementos Q = \{ a_{1}H, a_{2}H, ..., a_{r}H \} um grupo?

Lema 1:

Seja N normal e g, \ h \in G. Então para x, y \in G, se x \in Ng e y \in Nh, então xy \in Ngh.

Demontração:

Seja n_{1}g \in Ng e n_{2}h \in Nh. Como pela normalidade de N, gN = Ng e então gn_{2} = n_{3}g \in Ng, n_{3} \in N. Então (n_{1}g)(n_{2}h) = n_{1}(gn_{2})h = n_{1}(n_{3}g)h = (n_{1}n_{3})gh \in Ngh. \square.

Estamos quase lá! Vamos só apresentar o conceito de produto de conjuntos. Afinal, há que definir o produto das classes laterais, que são ultimamente conjuntos.

Definição 1: (Definição de produto de conjuntos)

Sejam A, B subconjuntos de um grupo G. O produto AB é definido como AB = \{ ab \ | \ a \in A, \ b \in B \}

A multiplicação das classes laterais é então dada pelo seguinte lema:

Lema 2: (Produto de classes laterais de um subgrupo normal)

Seja N um subgrupo normal de G e Ng e Nh duas classes laterais de N em G, então (Ng)(Nh) = Ngh

Demonstração:

Pelo lema 1, sabemos que (Ng)(Nh) \subseteq Ngh mas como ngh = (ng)(1h) \in (Ng)(Nh), Ngh \subseteq (Ng)(Nh) e então (Ng)(Nh) = Ngh. \square

Com estes resultados intermédios, temos então o principal resultado.

Teorema 1: (Classes laterais direitas de um subgrupo normal formam um grupo)

Seja G um grupo e N um subgrupo normal de G. Então a colecção de classes laterais direitas de N forma um grupo.

Demonstração:

A pior parte já está feita. Com a multiplicação (operação binária) entre classes laterais definidas, o resto é queijo. Verificando então os axiomas de um grupo:

  1. Completude é óbvia, pois (Ng)(Nh) = N(gh) e, pela completude de G, N(gh) \in Q.
  2. Associatividade deriva pela associatividade do grupo: se Ng, Nh, Nk \in Q, então ((Ng)(Nh))(Nk) = (N(gh))(Nk) = N((gh)k) = (Ng)((Nh)(Nk))
  3. A identidade do grupo é, sem grandes surpresas, N, pois para qualquer outra classe lateral, Ng, (Ne)(Ng) = N(eg) = Ng.
  4. Existe apenas uma inversa, que é, naturalmente, para Ng, Ng^{-1}, visto que (Ng)(Ng^{-1}) = N(gg^{-1} = N que é a identidade.

… e Q forma um grupo! Já agora, vamos dar nome a este grupo.

Um esquema visual do que as classes laterais – neste caso esquerdas –  formam no grupo, usando um subgrupo normal. Repara que se a \in aN e b \in bN, o produto ab \in abN. Este facto só se verifica quando N é normal.

Definição 1:

O grupo formado pelas classes laterais do subgrupo normal N em G é chamado de grupo quociente e é denotado por G \slash N

Como aparte, a ordem do quociente, | G \slash N| é igual a \frac{|G|}{|H|}

No próximo post, vamos dar alguns exemplos de quocientes de grupos e introduzir a ideia de homomorfismos entre o grupo e o quociente e provar o Primeiro Teorema de Isomorfismos.

__________________
(1) Esta decisão é arbitrária.

(2) Este grupo não tem nada a ver com os racionais!

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