Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #22)

Este é o vigésimo segundo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.

No post passado, apresentaram-se exemplos de homomorfismos (para além dos exemplos de isomorfismos dados há uns posts atrás!). Vamos agora mudar um pouco o rumo da série: vamos aprender sobre certos subgrupos importantes: os subgrupos normais. A ideia é simples: dado um grupo G, que grupos podem representar imagens homomórficas de G ?. Usando factos que já provámos, vamos chegar a um importante resultado abstracto: o Primeiro Teorema de Isomorfismos.

Subgrupos mais especiais

Relembra-te que um subgrupo H é um grupo que é um subconjunto de um grupo G, na mesma operação binária. Como exemplos, tem-se os números pares no conjunto dos números inteiros ou o subgrupo gerado por qualquer elemento de um grupo cíclico. Repara que um subgrupo contém sempre a identidade do seu grupo (ou então os axioma (G3) falharia).

No entanto, como verás, a condição de que H é um subgrupo não é suficiente a formar quocientes de grupos – que haveremos de abordar nos próximos posts. A condição tem de ser mais forte, e este reparo foi entendido por Évariste Galois, um rapaz de excepcional aptidão matemática, que morreu num duelo em 1832 aos 20. Essa condição motiva o estudo de subgrupos normais.

Definição 1 : (Definição de subgrupo normal)

Seja G um grupo na sua respectiva operação binária. Um subgrupo N é normal em G se xN = Nx \ \forall x \in G. Simbolicamente, se N for um subgrupo normal de G, escreve-se que N \lhd G,

Reparo 1: xN e Nx representam, como vimos no post passado, classes laterais esquerda e direita do subgrupo N.

Reparo 2: A notação Nx = xN não quer dizer que x comuta com todos os elementos de N! É uma igualdade de conjunto ou seja, todo o elemento g \in Nx pertence ao conjunto xN e vice-versa. Ou seja, que Nx \subseteq xN e que xN \subseteq Nx.

Reparo 3: Esta definição (ou diferenciação entre subgrupos e subgrupos normais) faz sentido pois nada garante que as suas classes laterais sejam exactamente os mesmos conjuntos. Tudo o que sabemos é que a sua cardinalidade é a mesma: definindo um mapa ha \mapsto (ha)^{-1} – que é uma bijecção –  e usando o teorema 2 do post 21, deriva-se o resultado.

Existem dois subgrupos trivialmente normais em qualquer grupo G: \{ e_{G} \} e G.

  1. Para N = \{ e \}, tem-se que, para g \in G, xN = \{ xe \} = \{ x \}. Já Nx = \{ ex \} = \{ x \} e então \forall x \in G, Nx = xN e então \{ e \} \lhd G.
  2. Para N = G, tem-se que para g \in G, xN = G e que Nx = G (pela completude de G e então G \lhd G.

Esta definição depende puramente em classes laterais. Existe um corolário fácil, por vezes tido como a definição de subgrupos normais.

Corolário 1:

Seja H um subgrupo de um grupo G. Então H é normal se e só se \forall g \in G, h \in H, o elemento ghg^{-1} \in H.

Demonstração:

Supõe que H é normal em G, ou seja, H \lhd G, e g \in G, h \in H. Então Hg = gH e como gh \in gH, gh \in Hg, ou seja, existe h' \in H tal que gh = h'g. Então ghg^{-1} = h' \in H.
No sentido contrário: assumindo que ghg^{-1} \in H \ \forall g \in G, \ h \in H, para gh \in gH, ghg^{-1} \in H e então gh = h'g para algum h' \in H. Isto quer dizer que gh \in Hg \subseteq Hg. Para a outra inclusão, como hg \in Hg, g^{-1}hg \in H, colocando h' = g^{-1}hg, hg = gh' \in gH e então Hg \subseteq gH. Juntando as duas inclusões, tem-se que gH = Hg. \square

Exemplos de subgrupos normais

  • No post passado, o exemplo em que G = Z e que H = 2Z, é fácil perceber que 2Z \lhd Z. Pelo corolário 1, para x \in Z e h \in 2Z, ghg^{-1} = g + h + (-g) (a operação binária é a soma, neste caso). Pela comutatividade da adição, g + h + (-g) = g + (-g) + h = h \in H e então 2Z \lhd Z.
  • Em geral, qualquer subgrupo de um grupo abeliano é normal, exactamente pela propriedade comutativa – g e g^{-1} “cancelam-se”, deixando h, que evidentemente pertence a H.
  • O conjunto M_{2} de todas as matrizes 2 \times 2 não singulares formam um grupo multiplicativo. Considera o subgrupo N de todas as matrizes M \in M_{2} tal que det(M) = 1. (1). Acontece que é normal também: se A \in N e X \in M_{2}, então det(XAX^{-1}) = det(X)det(A)det(X^{-1}) = det(X)det(A)det(X)^{-1} = det(A) = 1 e então XAX^{-1} \in N.

O próximo exemplo é importante demais para uma lista.

Teorema 1 : (O núcleo de um homomorfismo é um subgrupo normal de G)

Sejam G, \ H dois grupos, e \phi : G \rightarrow H um homomorfismo. Então Ker( \phi ) \lhd G.

Demonstração:

Já tinhamos visto no post 19, pelo teorema 1, que o núcleo de um homomorfismo entre grupos é um subgrupo de G. Vamos provar que é sempre normal. Relembra-te que o núcleo de um homomorfismo \phi é definido como Ker( \phi ) = \{ g \in G \ | \ \phi(g) = e_{H}. Abrevia Ker ( \phi ) = K.
Assume que x \in K e g \in G. Considera o elemento gxg^{-1} \in G. Aplicando \phi, tem-se que \phi(gxg^{-1}) = \phi(g) \phi(x) \phi(g^{-1}) = \phi(g) \phi(x) \phi(g)^{-1}, visto que o mapa é homomórfico. Mas como g \in K e \phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}, tem-se que \phi(gxg^{-1} = \phi(g) e_{H} \phi(g)^{-1} = e_{H} e então gxg^{-1} \in K. \square

Subgrupos normais são importantes por uma razão, como veremos no próximo post. Já pensaste na seguinte ideia: será que é possível construir um grupo em que cada elemento seja uma classe lateral? Acontece que classes laterais formadas por um subgrupo H que não é normal não garantem que tal grupo possa ser criado; mas adivinha: usando a propriedade de normalidade, tais grupos podem ser sempre construidos! Mais no próximo post.

_______________

(1) Consegues provar que este subconjunto é mesmo um subgrupo?

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