Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #20)

Este é o vigésimo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. No post passado, introduziu-se a noção de mapas isomórficos, homomórficos, epimórficos e monomórficos. As variações são pequenas, mas vamos debruçarmo-nos em dois especiais: o isomorfismo e o homomorfismo. O conceito de isomorfismo é utilizado para mostrar igualdade estrutural entre dois grupos: vimos que se G e H são dois grupos arbitrários, então se G \cong H, existe uma bijecção \phi : G \rightarrow H que é isomórfica. Os grupos tornam-se assim estruturalmente o mesmo.

Para que serve o homomorfismo, no entanto? Antes de responder, vamos dar uns exemplos.

Exemplo 1: (O mapa de resíduos em Z)

Toma como grupo o conjunto dos números inteiros Z e Z_{n}, ambos sob adição, para n \in N. Então existe um homomorfismo \phi : Z \rightarrow Z_{n} dado por \phi (g) = [g]. Aqui [g] representa a classe de resíduos de g módulo n. Como exemplo, para n= 7, [2] = \{ ... ,-13, -5, 2, 9, ... \}. Em geral, [g] = \{ ..., g - 2n, g - n, g, g+n, g+2n, ... \}  É fácil provar que [a] + [b] = [a+b]. Usando este resultado, tem-se que \phi(a+b) = [a+b] = [a] + [b] = \phi(a) + \phi(b) e então \phi é um homomorfismo. Repara no gráfico que ilustra o mapa \phi.

Visualmente, o mapa Z \rightarrow Z_{7} definindo o resíduo módulo 7. Repara que o mapa é sobrejectivo, pois para cada g \in Z_{7} \exists h \in Z | \phi(h) = g.

Exemplo 2: (O determinante de uma matriz)

Neste exemplo, considera o conjunto M_{2} de todas as matrizes 2×2 não singulares com coeficientes em R, ou seja, o conjunto de todas as matrizes da forma \begin{bmatrix}  a & b\\  c & d  \end{bmatrix} tal que a, b, c, d \in R e que o determinante, ad-bc \neq 0. Então, para quaisquer duas matrizes, dado o facto de que det(AB) = det(A) det (B) (1), o mapa det : M_{2} \rightarrow R^{*} (2), é um homomorfismo, visto que det(AB) = det(A) det(B).

Benedict Gross, guru de Álgebra Abstracta, detentor da cadeira de professor de Matemática George Vasmer Leverett na Universidade de Harvard, a demonstrar o resultado do exemplo 2. Por curiosidade, o mapa é epimórfico porque é sobrejectivo: para cada \lambda \in R^{*} existe uma matrix M \in M_{2} (na notação mais geral de Gross, M_{2} \cong GL_{2} (R)) tal que det M = \lambda.

Um resultado interessante (e fácil de provar!) é que o “produto” de dois homomorfismos é um homomorfismo; ou seja, que se \phi e \theta forem homomorfismos de G \rightarrow H, então \alpha := \phi \cdot \theta é um homomorfismo também.

Outro resultado, importante, é de que qualquer grupo X de ordem finita é isomórfico a um subgrupo do grupo de permutações Sym(X). Este resultado é conhecido como Teorema de Cayley e a sua demonstração é morosa.

O grafo de Cayley do Grupo SImétrico de ordem 4. Qualquer grupo de ordem 4 – que já vimos ser de apenas dois tipos: cíclico de ordem 4 ou o grupo 4 de Klein, é isómorfico a um subgrupo deste grupo simétrico S_{4}

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(1) Este resultado pode ser aplicado a mais produtos de matrizes (desde que sejam não singulares!). Em geral, det(\prod_{i = 1}^{k} M_{i}) = \prod_{i = 1}^{k} det(M_{i}). Tal proposição pode ser provada usando Álgebra Linear: como qualquer matriz não singular pode ser escrita como um produto de matrizes elementares, e o efeito de cada matriz elementar no determinante da matriz final é conhecido, o resultado pode ser computado por indução.

(2) Relembra-te que em geral F^{*} = F - \{ 0 \}. Porque é que o elemento 0 em R não pode ser considerado no conjunto? Será que o mapa seria mesmo assim um homomorfismo?

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