Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #19)

No post passado, introduzi dois conceitos muito importantes em mapas entre conjuntos: o núcleo e a imagem. Viu-se que estes conceitos são simplesmente generalizões dos conceitos de zero e contradomínio de uma função de variável real. A introdução parece não ter servido de muito mas o truque vem agora: como interpretar estas ideias quando o mapa, mais que ser entre conjuntos, for entre grupos?

Antes de começar, talvez seria benéfico introduzir alguma terminologia sobre mapas. O nosso mapa entre grupos favorito é o isomorfismo, um mapa bijectivo que preserva estrutura. Será que ele representa o único mapa de interesse em Teoria de Grupos?

 

Um bando de -ismos

Em certa medida, o conceito de isomorfismo é  especifico demais. É possível criar áreas em Teoria de Grupos em que se use condições menos restritivas e que mesmo assim produzam resultados utilíssimos. Vamos dar nomes a pequenas variações de isomorfismos.

Definição 1 (Definição de homomorfismo)

Seja \phi : A \rightarrow B um mapa tal que \forall a, \ b \in A, \phi(a \cdot b) = \phi(a) * \phi(b). Entao \phi e denominado de homomorfismo.

Qualquer mapa que preserve a estrutura de um grupo para o outro (representado pela condição dada na definição) é um homomorfismo. Obviamente que pela definição, todos os isomorfismos são homomorfismos, mas existem mais classes!

Definição 2 (Definição de monomorfismo)

Seja \phi : A \rightarrow B um mapa injectivo tal que \forall a, \ b \in A, \phi(a \cdot b) = \phi(a) * \phi(b). Entao \phi e denominado de monomorfismo.

Um monomorfismo é simplesmente um homomorfismo que é injectivo.

Definição 3 (Definição de epimorfismo)

Seja \phi : A \rightarrow B um mapa sobrejectivo tal que \forall a, \ b \in A, \phi(a \cdot b) = \phi(a) * \phi(b). Entao \phi e denominado de epimorfismo.

Um epimorfismo é simplesmente um homomorfismo que é sobrejectivo.

Com estas definições em mente, não é difícil adivinhar que corolário pode sair daqui.

Corolário 1

Seja \phi : A \rightarrow B um mapa injectivo e sobrejectivo (portanto bijectivo)  tal que \forall a, \ b \in A, \phi(a \cdot b) = \phi(a) * \phi(b). Então \phi é um isomorfismo.

Podemos então conceber um isomorfismo como um homomorfismo injectivo e sobrejectivo (bijectivo).

Talvez seja então mais prático reescrever as condições para provar que um mapa é isomórfico desta forma:

  • Provar que a operação é preservada – e então o mapa é um homomorfismo.
  • Provar que o mapa é injectivo – e então o mapa é um monomorfismo.
  • Provar que o mapa é sobrejectivo – e então o mapa é um epimorfismo.
  • Pelo corolário 1, o mapa é um homomorfismo bijectivo, e portanto um isomorfismo.

O que têm de especial?

Vamos reparar em algo interessante: quando o mapa é entre dois grupos, com as suas respectivas operações binárias,  Ker( \phi ) e Im ( \phi ) são mais que conjuntos: eles formam grupos em mérito próprio.

Embora vá provar e introduzir alguns pequenos teoremas sobre homomorfismos ( na mesma linha do que foi feito para isomorfismos), vamos provar que o núcleo e a imagem formam realmente grupos por si. Daqui em diante vamos assumir que o mapa \phi se refere ao mapa \phi : G \rightarrow H onde G, \ H são grupos, com operações binárias \cdot, \ * respectivamente.

Teorema 1 ( O núcleo de um homomorfismo é um subgrupo de G)

O núcleo do homomorfismo \phi é um subgrupo de G, ou seja, ker( \phi ) \leq G

Demonstração:

Há que provar duas coisas : claramente que o núcleo forma um subconjunto de G: temos de provar que é fechado sobre a operação binária e que todos os elementos possuem inversa no subconjunto!

Supõe que g \in Ker ( \phi ), então pela definição \phi(g) = e_{H}. Vamos considerar outro elemento h \in Ker( \phi ). Queremos provar que g \cdot h \in Ker ( \phi). Como G é um grupo, g \cdot h \in G, então \phi(g \cdot h) = \phi (g) * \phi(h) = e_{H} * e_{H} = e_{H} e então g \cdot h \in Ker( \phi ). Para provar que a identidade de qualquer elemento está no nucleo, considera um elemento arbitrário g \in Ker( \phi ). Claramente que g^{-1} \in G. Considera então \phi(g \cdot g^{-1}) = \phi( e_{G}) = \phi(g) * \phi (g^{-1}) = e_{H}, e então \phi(g)^{-1} = \phi(g^{-1}).

Este facto já foi provado no post sobre isomorfismos: a condição menos forte de o mapa ser um homomorfismo em vez de um isomorfismo relaxa a prova: ela é ainda válida. Então o subconjunto é fechado e contém inversas para todos os elementos que, por completude, estão no subconjunto. Ele é então um subgrupo e então Ker ( \phi ) \leq G.

Vamos mais à frente focar-nos em tipos de subgrupos mais especiais: são chamados de subgrupos normais. São uma imposição mais forte na definição de um subgrupo e cria um mecanismo muito simples de criar partições num grupo. Já falámos um pouco de partições neste post mas vamos ter a oportunidade de os concretizar em termos de quocientes de grupos. Mais para a frente, no entanto.

Este pequeno teorema é bastante útil em provar que um mapa \phi : A \rightarrow B é injectivo.

Teorema 2 (Teste de Injectividade entre grupos)

Seja \phi : G \rightarrow H um homomorfismo. Então o seu núcleo ker( \phi ) = e_{G} se e só se (sse) \phi é injectivo

Demonstração:

Provando no sentido ( \phi é injectiva \Rightarrow ker (\phi) = \{ e_{G} \} )

Assume por contradição: Assume que existe um elemento, x \in Ker \phi, x \neq e_{G}. Então, visto que \phi (x) = \phi(e_{G}) = e_{H} (Usando o facto de que a identidade é sempre mapeada para a identidade num homomorfismo), e como por definição x \neq e_{G}, \phi não pode ser um mapa injectivo (monomorfismo).

No sentido ( ker (\phi) = \{ e_{G} \} \Rightarrow \phi é injectiva)

Assume que dois elementos x, \ y \ \in G têm a mesma imagem, i.e. \phi (x) = \phi(y). Então, visto que \phi é um homomorfismo, a inversa da imagem existe. Logo \phi(x) \phi(y)^{-1} = e_{H} \Leftrightarrow \phi(x) \phi(y^{-1}) = e_{H} \Leftrightarrow \phi (xy^{-1}) = e_{H}. Então pela definição, xy^{-1} = e_{G} – assumiu-se que o núcleo era trivial, portanto xy^{-1} apenas pode ser igual a tal elemento. Como G forma um grupo, multiplicando por y, obtém-se que x = y e então \phi é injectivo.  \square.

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