Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #18)

Este é o décimo oitavo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.  Neste post e no próximo vamos fazer (de novo) uma pequena digressão sobre mapas. O que importa reter é saber o que certos aspectos dos mapas podem ser úteis na compreensão da sua tipologia. Já vimos que há três propriedades importantes em mapas que são usados em Matemática: injectividade, sobrejectividade e bijectividade.

No entanto, estes conceitos dão uma ideia de como os elementos de um conjunto A são ligados a um outro elemento de um conjunto B de uma maneira visual. Certamente que há mapas infinitos entre conjuntos (pensa por exemplo num mapa entre os números reais para os números inteiros, definido por \psi (x) = [x] (o maior inteiro menor ou igual a x) – exemplo [2] = 2, [2.1] = 2, [-4.2] = -4, [ \pi ] = 3. O problema é saber que um mapa é injectivo ou sobrejectivo (ou bijectivo) sem usar recurso a métodos visuais!

Porquê isto agora?

Porquê entender este pormenor a esta etapa? Lembras-te de isomorfismos entre grupos? Se é necessário encontrar tal mapa, como encontrar (e provar) que tal mapa é isomórfico? Pela defnição:

  • O mapa é injectivo
  • O mapa é sobrejectivo
  • Logo o mapa é bijectivo
  • O mapa preserva a operação.

Ou seja, a pergunta de um milhão é: Como descobrir e provar que um certo mapa candidato é um isomorfismo?

É simples: define o teu mapa candidato, prova que o mapa é injectivo (ou seja, se \phi(a) = \phi(b) \Rightarrow a = b), prova que o mapa é sobrejectivo (ou seja, para todo o elemento h \in H, tem de existir pelo menos um elemento g \in G tal que \phi(g)=h; No post 7, verificámos que uma função que é simultaneamente sobrejectiva e injectiva é necessariamente bijectiva. Para terminar, há que mostrar a chamada condição de “preservação de operação” – aquela que está na definição, seja:

\forall g, \ h \in G, \phi(g \cdot h) = \phi(g) * \phi(h).

Vamos então definir dois conceitos um tanto abstractos que vão traduzir numa verificação (potencialmente mais rápida) das propriedades de um mapa!

Um mapa \phi : A \rightarrow B converte elementos a \in A em elementos b \in B. Existem dois conceitos que são análogos a funções de uma variável: o seu núcleo (ou kernel) e a sua imagem.
Para dar um gosto do que eles são, aqui está um exemplo rápido. A função f: R \rightarrow R definida por f(x) = x^2 tem zeros em x=0 e apenas consiste em valores reais não-negativos (é impossível encontrar um número real cujo quadrado seja negativo!). Estou a referir-me aos zeros de uma função e ao seu contradomínio!. Vamos generalizar estes conceitos! Primeiro, repara no seguinte diagrama.

Um mapa geral \Phi. Aqui podemos observar que existem certos elementos em A que são mapeados para o mesmo elemento em B. O Núcleo do mapa \Phi (que está assinalado no lado esquerdo) contém todos os elementos em A que são mapeados para a identidade em B. Já o conjunto de todos os elementos em B que são ligados a um outro elemento em A formam um outro conjunto, Im ( \Phi ). Repara como existem elementos em B que não possuem nenhuma seta. Eles não pertencem a Im ( \Phi ).

O núcleo de um mapa

Vamos definir rigorosamente estes conceitos, começando com o seu núcleo.

Definição 1 : (Definição do núcleo de um mapa)

Seja \phi : A \rightarrow B uma função (mapa) do conjunto A para B. O núcleo de \phi, denotado de Ker( \phi ) é definido como o conjunto de todos os elementos em A que são mapeados para o elemento zero de B. Formalmente,

Ker( \phi ) = \{ x \in A | \phi(x) = 0_{B} \}

Esta definição é um pouco ambígua mas pelo contexto, deixa de o ser. O ponto importante é que o elemento 0_{B} não é bem definido. Quando A e B, o elemento 0_{B} é simplesmente a identidade de B, chamemos-lhe e_{B}. No entanto, este mapa podia ser definido entre dois espaços vectoriais por exemplo, o que faria 0_{B} ser o vector \vec{0}. (De facto uma função linear entre dois espaços vectoriais forma um grupo abeliano – se souberes de Álgebra Linear tenta provar! (1)).

O ponto a reter é que o núcleo de um mapa é simplesmente o conjunto de elementos que são transformados na identidade.

Exemplos de certos núcleos de funções:

  • O conjunto de todos os zeros de uma função polinomial forma o núcleo dessa mesma função; por exemplo, como x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = -1, o núcleo da função f é Ker(f) = \{ -1, 1 \}.
  • O núcleo pode ser infinito também! A função sin(x) tem zeros para todos os x tal que x = n \pi, com n inteiro. Ou seja, ker (sin(x)) = \{ ..., -2 \pi, -pi, 0, \pi, 2 \pi, ... \} = \pi Z.
  • Um mapa f : Z \rightarrow Z_{n} definido por f(x) = x (mod \ n) tem como núcleo todos os elementos que têm resto zero em módulo n; ou seja, corresponde a todos os múltiplos de n. Simbolicamente esse conjunto é escrito como nZ. Então o núcleo de f, ker (f) = nZ. Se n = 2 (por exemplo), então todos os números inteiros são mapeados ou para 0 ou para 1. Elementos que vão ser mapeados para 0 são múltiplos de 2: -2, 0, -2, -4, 8, 10… (os números pares!) e então Ker (f) = 2Z.
  • O núcleo de um isomorfismo \phi : G \rightarrow H, com G, \ H grupos é simplesmente a identidade de H, ou seja Ker ( \phi ) = \{ e_{G} \}. Porquê? Lembra-te que provámos no post 16 que a identidade de G é mapeada para a identidade de H quando o mapa é um isomorfismo. Como um isomorfismo é bijectivo, então é injectivo portanto só existe um elemento em G que é mapeado para a identidade de H. Como calculamos que (único) elemento se trata, chegamos à conclusão que Ker ( \phi ) = \{ e_{G} \}

A imagem de um mapa

Definição 2: (Definição da imagem de um mapa)

Seja \phi : A \rightarrow B uma função (mapa) do conjunto A para B. A imagem de \phi, denotada de Im ( \phi ) é definido como o conjunto de todos os elementos em B que têm pelo menos um elemento em A que lhe é mapeado..Formalmente,

Im( \phi ) = \{ \phi(x) \ | \ x \in A \} = \{ y \in B \ | \ \exists x \in A \ | \ \phi(x) = y \}

Em suma, a imagem de uma função é o conjunto de todos os elementos em B em que pelo menos uma seta de A lhes chega. Repara no esquema seguinte e como existem elementos que pertencem a B mas que não têm nenhum elemento em A que lhes liguem. Estes elementos não fazem portanto parte da imagem de \phi.

Exemplos de imagens incluem:

  • A imagem da função f: R \rightarrow R dada por f(x) = x é o conjunto R todo (obviamente). Então Im (f) = R
  • A imagem da função f(x) = sin(x) é o conjuntos dos valores que sin(x) pode tomar, quando x é real. De Trigonometria básica, -1 \leq sin(x) \leq 1 e então Im(f) = [-1,1] (em que [a,b] denota o intervalo fechado de a a b.)
  • A imagem de um isomorfismo \phi : G \rightarrow H é B. Isto porque, pela definição, \phi é bijectivo e então sobrejectivo; logo todos os elementos em B têm pelo menos um elemento em A que lhes é mapeado, o que é precisamente a definição de Im ( \phi ). Logo Im( \phi ) = H
  • Um mapa um pouco inútil: g : Z \rightarrow N definido por g(x) = 0. A sua imagem apenas contém o elemento 0 portanto Im (g) = \{ 0 \}. Como curiosidade, o núcleo deste mapa é o conjunto Z todo, visto que todos eles são mapeados para a identidade! (Vamos assumir que estes grupos são abelianos para que a notação seja mais concisa!). Este mapa é chamado de mapa nulo, claramente justificado pela sua definição.

No próximo post vamos continuar o que começámos e provar algo mais sobre estes conjuntos. Eles são mais que conjuntos!…

_______

(1) Pista: Considera o elemento \phi(a + b). Pela linearidade de \phi, isto é igual a \phi(a) + \phi(b). Para provar que o espaço vectorial forma um grupo, considera qualquer conjunto de vectores que façam span no set e que sejam linearmente independentes. Encontrando dim(A) vectores e aplicando linearidade de soma de vectores e multiplicação por um escalar prova que o span de B é dado por \phi(v_{i}), onde v_{i} é o i-ésimo vector que forma uma base em A. Talvez um dia faça uma série sobre Álgebra Linear!

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