Curiosidade III: A área de um ovo e a esperteza de uma galinha (Parte 1)

Neste Curiosidade III de duas partes vamos ter a oportunidade de conhecer mais sobre a geometria, área e volume de um ovo (e respectivo ovoide). Com esta estimativa, será que as galinhas são mais espertas em pôr ovos em vez de esferas?

Este problema é básico e seguramente que qualquer estudante de 11º ano deveria consegui-lo resolver. O truque é decompor a figura correctamente.

Interpretação geométrica de um ovo: Uma metade de uma circunferência de raio r, dois arcos de circunferência R = 2r simétricos e um arco de circunferência superior.

 

Como construir um ovo com régua e compasso

  • Com centro em O e raio r, constrói uma circunferência. Considera a sua metade inferior.
  • Com centro em A, partindo de A', desenha o arco \hat{A'B'}, até intersectar a recta AB'.
  • Aplica o mesmo a A'.
  • Com centro em C e com raio |CB| = |CB'|, desenha o arco circular \hat{BB'}

Vamos usar o seguinte argumento geométrico:

A área total A é a soma da metade do círculo com duas áreas dos arcos menos duas áreas do triângulo AOC mais a área do arco circular superior.

Com esta ideia é mente, vamos calcular cada componente!

  • A área circular A_{0} é a metade da área do círculo com raio r e então A_{0} = \frac{\pi r^{2}}{2}
  • A área do arco A_{1} é igual a A_{1} = \frac{\theta R^{2}}{2}, onde R é o raio de curvatura do arco, \theta o ângulo do arco. Como a linha BA' passa pelo ponto C = (-r,r) e como tan( \theta ) = \frac{1}{1} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}, então A_{1} = \frac{\pi (2r)^{2}}{4 \times 2} = \frac{\pi r^{2}}{2}
  • A área triangular A_{2} é simplesmente a área deum triângulo rectângulo de lados r e portanto A_{2} = \frac{r^{2}}{2}
  • A área do arco superior é igualmente fácil. Por argumentos de simetria, a linha A'B faz \frac{\pi}{4} com o eixo vertical OC e então o arco tem ângulo \theta = 2\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. O seu raio R , por construção geométrica, é a diferença entre o raio do arco e a comprimento da diagonal AC, que é dada por R = 2r - \sqrt{2}r. Então A_{3} = \frac{\theta R^{2}}{2} = \frac{\pi (2-\sqrt{2})^{2} r^{2}}{4} = \pi r^{2} ( \frac{3}{2} - \sqrt{2})

Aplicando então a decomposição de áreas:

A = A_{0} + 2 (A_{1} - A_{2}) + A_{3}

e então A = \frac{\pi r^{2}}{2} + \pi r^{2} - r^{2} + \pi r^{2} - \sqrt{2} \pi r^{2} + \frac{\pi r^{2}}{2} = \pi r^{2} (3 - \sqrt{2}) - r^{2} = r^{2}( \pi (3- \sqrt{2}) -1).

Repara que tudo parece fazer sentido: a área do ovo é maior que a de um círculo, pois \frac{A}{A_{Circulo}} = \frac{\pi (3- \sqrt{2} - 1}{\pi} \approx 1,267; ou seja, a área do ovo é aproximadamente um quarto maior do que a área do círculo!

Qual será a sua área de superfície ou o seu volume? Será que este ovóide minimiza alguma propriedade importante, como área da casca por volume?

Vamos ter a oportunidade de verificar tal facto no próximo post.

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