Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #17)

Este é o décimo sétimo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.  Depois de termos introduzido o conceito de isomorfismo, que permite estabelecer uma relação de equivalência em duas estruturas algébricas, as coisas parecem animadoras. O estudo de grupos tornou-se mais concreto ao poder “classificar” classes de estruturas. Já falámos em grupos cíclicos, que são gerados por um dos seus elementos. Estes podem ser de ordem finita ou infinita.

Vimos também que se um grupo de ordem n tiver um elemento com ordem g com ordem n, i.e. o(g)=n, então isso força a que tal grupo seja isomórfico ao grupo cíclico C_{n}. Esta notação é quase que inútil pois em duas linhas se prova que C_{n} \cong Z_{n}: são o mesmo e partir de agora eles serão usados indiscriminadamente. Isto deriva do facto de que a minimalidade da potência que “devolve” g à identidade força todas as potências inferiores a serem elementos diferentes.

Estes factos vão ser usados para classificar grupos, dada uma ordem. Vamos tentando avançar na ordem e ver quantas possibilidades de estruturas algébricas podem ser encontradas.

Grupos de ordem 1

Este é trivial. Pela definição de grupo, a existência da identidade é exigida portanto não há qualquer outra possibilidade. G = \{ e \}. Porquê? Lembra-te que todos os elementos têm de ter inversa dentro do conjunto e o seu produto tem de estar no grupo. Ora acontece que (já o provámos!) a identidade e satisfaz ambos: e^{-1} = e e e \cdot e = e^{2} = e \in G.

Ou seja: só pode haver um grupo de ordem 1. Estruturalmente A = \{ laranja \} sob a operação binária \phi (x,x) = x (por exemplo!) representa a mesma estrutura algébrica que H = \{ 1 \} sob operação binária multiplicação de números reais.

Repara que este grupo é trivialmente cíclico: \{ e \} = <e>, com ordem 1. Em literatura matemática, este grupo é chamado em inglês de singleton. (1)

Todos os grupos G tal que |G| = 1 são isomórficos ao grupo cíclico de ordem 1. G \cong C_{1}

 

Grupos de ordem 2

Grupos desta ordem são igualmente fáceis de entender. Vamos chamar os dois elementos (necessariamente diferentes) a e b e então G = \{ a, b \}. Pela mesma razão um é necessariamente a identidade. Sem perda de generalização, a = e. Que liberdade tem o b ? A resposta é: apenas uma. b tem de ser um elemento tal que b \cdot b \in G. Se b \cdot b = b então  b = e Absurdo: assumimos que b \neq e. Que outra possibilidade? b \cdot b = e e então b^{-1} = b (que pertence ao grupo, obviamente).

Este grupo é estruturalmente o mesmo a uma transposição: pensa em todas as permutações num conjunto de dois objectos: ora eles mantêm-se ou invertem. Duas inversões resultam na situação inicial (algebrica e simbolicamente, b^{2} = e. Também é verdade que desfazer a inversão é obtido… invertendo! Isto diz que b^{-1} = b. Este grupo não nos é desconhecido: é o grupo cíclico de ordem 2, C_{2} \cong Z_{2}

O grupo cíclico C_{2}, o único grupo possível com ordem 2.

Todos os grupos G tal que |G| = 2 são isomórficos ao grupo cíclico de ordem 2latex G \cong C_{2}$

Grupos de ordem 3

Prosseguindo a lógica de “possíveis” combinações algébricas, pensando num grupo geral G = \{ e, a, b \} com e \neq a \neq b, vejamos o que podemos fazer. O produto a \cdot b = e; Verifica as possibilidades: se a \cdot b = a, pela regra do cancelamento em G, b = e. Absurdo! Pelo mesmo raciocínio a \cdot b \neq b. Aplicando o mesmo raciocínio a b \cdot a (lembra-te, um grupo em geral não é abeliano (comutativo)), determina-se que b \cdot a = a \cdot b = e. Para calcular a^{2}, usamos as possibilidades: a^{2} = e (contradição pois a^{-1} = a \Rightarrow a = e), a^{2} = a \Rightarrow a = e (contradição) ou então a^{2} = b. Quanto a b^{2} = a – tenta o mesmo método. Este grupo é então o grupo G = \{ e, a, b \} = \{ e, a, a^{2} \} que é isomórfico ao grupo C_{3}.

Todos os grupos G tal que |G| = 3 são isomórficos ao grupo cíclico de ordem 3. G \cong C_{3}

Grupo Cíclico de ordem 3. Este grupo, pelo que acabámos de ver, tem de ser isomórfico a (por exemplo) o grupo de rotações R_{120^{\circ}} ou ao grupo de permutações de permutações pares em três elementos – o grupo A_{3} Veremos mai sobre este grupo mais adiante.

Grupos de ordem 4

Continuando esta inspecção ad hoc, este é o primeiro caso em que há dois grupos possíveis. Se um elemento g \in G tiver ordem 4, então todos as suas potências menores (i.e. 0, 1, 2, 3 tem de produzir elementos diferentes e então G = \{ e, a, a^{2}, a^{3} \}. Caso não exista tal elemento, g terá de ter ordem 2. Isto porque se a ordem fosse 3, a^{2} = b e a^{3} = e e por conseguinte, a \cdot c = a \Rightarrow c = e (Contradição!); a \cdot c = c \Rightarrow a = e (Contradição!); a \cdot c = a^{2} \Rightarrow a = c (Contradição) e finalmente a \cdot c = a^{3} \Rightarrow c = a^{2} (Contradição).  Como |g| = 1 \Leftrightarrow g = e (Contradição), a sua ordem tem de ser 2 e então g^{2} = e. Então G é isomórfico a C_{4}. Caso a^{2} = b^{2} = e. Este grupo não é cíclico, pois não tem nenhum elemento de ordem 4. Chama-se o Grupo-4 de Klein e representa-se por V_{4} (2)

O grupo cíclico de ordem 4, C_{4}. Cá está o nosso grupo de rotações dum quadrado, abstractamente definido!
O grupo-4 de Klein. Repara que a identidade está representada no meio, e os três elementos distintos conectados. Repara que os únicos subgrupos são formados por \{ e,a \}, \{e, b \} e \{ e, c \}, todos de ordem 2. Não é por coincidência: relembra-te: o Teorema de Lagrange.

Todos os grupos G tal que |G| = 4 são isomórficos ao grupo cíclico de ordem 4 ou ao grupo-4 de Klein V_{4}. G \cong C_{4} ou G \cong V_{4}.

Como continuar?

O processo pode estender-se, mas este maneirismo ad hoc não é satisfatório. Será que podemos generalizar resultados consoante as propriedades do número em si? Este tem sido um tema fascinante e muitos matemáticos trabalham com grupo de ordens estonteantes, como o Grupo Monstro (3), com aproximadamente 8 \times 10^{53} elementos! Usando pequenos lemas, corolários e teoremas, podemos já classificar certos grupos. O facto de 5 ser um número primo motiva o porquê do próximo teorema:

Teorema 1 (Grupos de ordem prima).

Seja um grupo G com |G| = p, p um número primo. Então G \cong C_{p}.

Demonstração: Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de um subgrupo H de G divide a ordem de G. Como a ordem o subgrupo gerado por g para um elemento g \neq e é igual à ordem do elemento, i.e. | < g > | = o(g), o(g) tem de dividir |G|; mas |G| = p e então o subgrupo tem de ter ordem 1 ou p. Como o(g) = 1 \Leftrightarrow g = e, o(g) = p e então todas as potências g^{k} com 0 \leq k < p são distintas e então G \cong Z_{p} \cong C_{p} \square.

Isto garante que um grupo de ordem 17 ou 7 ou 999269 (que é primo! (4)) sejam necessariamente cíclicos com a sua respectiva ordem.

Mais classificações virão!

_______________
(1) Um singleton tem um sentido mais geral: é pensado como um objecto nulo em dimensão. Pode ser usado em Topologia, Teoria de Categorias e tem um papel relevante em toda a Álgebra Abstracta. Mais aqui.

(2) V do alemão Viergruppe.

(3) O Grupo Monstro tem propriedades únicas e uma ordem incompreensivelmente grande. Mais aqui.

(4) Se estiveres sem nada para fazer… repara na lista de todos os números primos de 1 a 1000000  aqui.

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1 comentário a “Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #17)”

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