Curiosidades II: O comprimento de uma circunferência

Neste pequeno artigo, vamos ter a oportunidade de ter uma ideia mais concisa pela razão o comprimento da circunferência é dado por 2 \pi R , R sendo o raio da circunferência.

Usando, de novo, as ideias do infinitesimal, esta tarefa torna-se trivial. O que grandes matemáticos como Arquimedes ou Euclides fizeram por razão ao absurdo (e sem métodos analíticos, diga-se de passagem), é feito em duas linhas sem remorsos.

Qual é a ideia?

Pensa numa circunferência, denotada por S . Para simplicidade, podemos sempre colocar qualquer circunferência sobre o plano com o seu centro a coincidir com a origem – o ponto (0,0). Isto reside no facto de que a translação é uma isometria no plano (e então não deforma as propriedades geométricas do objecto).

Assim sendo, a circunferência é o conjunto de todos os pontos cuja distância à origem é exactamente igual ao raio. Simbolicamente escreve-se que S = \{ (x,y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} = R^{2} \}. Temos tudo pronto para definir o processo:

  • A cada ponto sobre a circunferência, definir um vector infinitesimamente pequeno que é tangente à circunferência nesse ponto. Chama-o de \vec{\tau}
  • Uma “contribuição” especial de 1. Este facto vai fazer com que apenas a contribuição para o comprimento seja exactamente o que pretendemos.
  • Uma função que parametrize a curva: pensa que a circunferência é o deslocamento de uma partícula. A cada instante t, a partícula encontra-se a x(t). Podes encontrar muitas funções, mas vamos usar uma que é extremamente óbvia.

Com estes ingredientes, estamos praticamente prontos. Que função pode parametrizar esta curva?

Com esta ideia em mente, porque não usar \gamma(\theta) = (Rcos \theta, Rsin \theta ) ? Esta função, \gamma, arranjámos apenas um parâmetro para integrar, em vez de dois! Ou seja, se eu somar todas as contribuições de \theta no intervalo desejado, obterei exactamente o que pretendo – o comprimento da circunferência.

De Análise Vectorial, sabe-se que \int_{S} u = \int_{\theta = 0}^{\theta = 2 \pi} u(\gamma (\theta)) || \frac{d \gamma (\theta)}{d \theta}||d \theta. Esta fórmula parece horrenda, mas neste caso ela simplifica bastante. Esta fórmula deriva claramente da regra da cadeia, de cálculo.

  • u(x,y) = 1 – uma simples constante, não há transformação de variáveis.
  • A derivada \frac{d \gamma (\theta)}{d \theta} = (Rcos \theta, Rsin \theta)' = (-R sin \theta, R cos \theta) tem valor absoluto constante! Repara:
  • || (-R sin \theta, R cos \theta)|| = \sqrt {(-Rsin \theta)^{2} + (R cos \theta )^{2}} = \sqrt{R^{2} (cos^{2} \theta + sin^{2} \theta )} = R – Usando a Relação Fundamental da Trigonometria cos^{2} \theta + sin^{2} \theta = 1

Então o comprimento da circunferência é simplesmente igual a:

\int_{0}^{2 \pi} R d\theta = R \int_{0}^{2 \pi} d\theta = R [\theta]_{o}^{2 \pi} = 2 \pi R

No saco, Arquimedes!

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