Curiosidades I: Uma soma interessante

Neste pequeno post vamos tentar entender como chegar a um resultado fascinante. Vamos “provar” que a soma de todos os inversos de quadrados converge para um número especial.

Pergunta:

Quanto é a soma 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{n^{2}}, à medida que n \rightarrow \infty ?

Motivação:

Para se ter uma ideia da dimensão do número, repara que:

1 = 1
1+ \frac{1}{4} = 1.25
1+ \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \approx 1.36
1+ \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} \approx 1.42
1+ \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} \approx 1.46
...

À medida que se adiciona mais uma inversa de um quadrado, a soma parece ir ficando mais próxima de um certo número. Será verdade, ou será que ela está simplesmente a divergir muito lentamente para o infinito? Podemos esperar que o resultado possa convergir, visto que cada termo vai ficando mais e mais pequeno, ou seja \frac{1}{n^{2}} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty. Repara que isto não é uma condição suficiente, mas certamente necessária. Se os termos não fossem ficando mais pequeno, certamente que a soma não convergeria para um número.

Que então achar da soma:
1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + ...

A  pergunta foi questionada por séculos, tendo o seu ápice no século XVII, em 1644. O problema ficou conhecido como O Problema de Basileia.

Leonhard Euler, suíço que era, não ficou fora da história. Com alguma intuição, ele chegou ao número teórico a que tal série converge e foi estimando que de facto a série converge para tal valor. O que Euler fez não constitui uma demonstração, mas é altamente criativo.

Ideia:

Euler foi esperto. O seu argumento foi baseado no seguinte:

  • Pensando em séries de Taylor que são, a grosso modo, uma soma de vários polinómios que vão aproximando uma função à  medida que mais termos são adicionados, é possível provar que a s série de Taylor (neste caso de MacLaurin) da função sin(x) é dada porsin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!} -\frac{x^{7}}{7!} + ... + \frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{(2n+1)!} + ...
  • Dividindo todos os termos por x, obtém-se que\frac{sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} +\frac{x^{4}}{5!} -\frac{x^{6}}{7!} + ... + \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n+1)!}
  • Como a função \frac{sin(x)}{x} tem raízes x = n \pi , n \in Z e x \neq 0, e supondo que se pode considerar a função como um polinómio de grau infinito, é possível escrever a função como um produto dos factores lineares das raízes. Ou seja, multiplicar factores do tipo (x - n \pi).
  • Então:\frac{sin(x)}{x} = (x + \pi)(x - \pi )(x + 2 \pi)(x - 2 \pi) ... (x + n \pi )( x - n \pi) =
    (1 + \frac{x}{\pi})(1 - \frac{x}{\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})(1 - \frac{x}{2 \pi}) ... (1 + \frac{x}{n \pi})(1 - \frac{x}{n \pi})
  • Usando a identidade (a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}, \frac{sin(x)}{x} pode ser simplificada como:\frac{sin(x)}{x} = (1 - \frac{x^{2}}{\pi^{2}})(1 - \frac{x^{2}}{4 \pi^{2}})(1 - \frac{x^{2}}{9 \pi^{2}})...(1 - \frac{x^{2}}{n^{2} \pi^{2}}).
  • O toque de génio entra aqui: somando todos os termos em x^{2}, obtém-se que:- \frac{1}{\pi^{2}} - \frac{1}{4 \pi^{2}} - \frac{1}{9 \pi^{2}} - ... \frac{1}{n^{2} \pi^{2}} = - \frac{1}{\pi^{2}} ( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ... \frac{1}{n^{2}})
  • Neste passo, Euler conseguiu criar uma equação que contivesse, separada, a variável que se pretendia calcular! Simbolicamente, escreve-se que:1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ... \frac{1}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
  • Aqui entra a série de Taylor da função \frac{sin(x)}{x}. Como reescrevemos dois polinómios (infinitos) representando a mesma função, então pela igualdade de polinómios, os coeficientes de cada x^{n} têm de ser iguais. Considerando o caso n=2, comparando coeficientes em x^{2} implica que:- \frac{1}{3!} = - \frac{1}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
  • Daqui se conclui que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{3!} = \frac{\pi^{2}}{6}

Calculando este valor, \frac{\pi^{2}}{6} = 1,64493407 e esta é de facto a resposta ao problema, ou seja:

1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ... \frac{1}{n^{2}} + ... = \frac{\pi^{2}}{6}

____________
Uma demonstração mais em linha com métodos de integração em
http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf

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