Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #16)

Este é o décimo sexto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. No post passado introduzi um conceito que não vai servir de muito por enquanto, mas que será a base de muito que vamos fazer daqui a uns posts: o conceito de relação de equivalência. Encontrando uma tal relação num certo conjunto, produzimos o que se chama na Matemática de partição: subdividimos o conjunto em subconjuntos mais pequenos, contidos no conjunto, com a propriedade de serem disjuntos e portanto nunca terem nenhum elemento em comum, além de que todos os elementos do conjunto pertencem a um e apenas um destes subconjuntos.  Neste post vamos introduzir um isomorfismo (e provar que o é no próximo post) e demonstrar algumas asserções básicas sobre isomorfismos.

Um isomorfismo útil

O conceito de logaritmo de um número real, que às vezes é tão ignorado ou incompreendido por estudantes, é uma maneira natural de compreender os números reais por outro ponto de vista. Fixando uma certa base x \in R, trabalhar com multiplicação de potências de x (como por exemplo x^{2} \times x^{-\frac{1}{2}} \times x^{4} não é  muito prático: Se pensares nestas quantidades na linha real, isto torna-se complicado ou impossível de determinar geometricamente.

Qual é a ideia? Se se quiser determinar geometricamente produtos de números numa recta, se calhar é melhor converter a escala para uma escala logarítmica e somar os seus expoentes! Por que é isto? Relembra-te que b^{n} \times b^{m} = b^{n+m} e por esse motivo log_{b}(nm) =log_{b}(n) + log_{b}(m) . Será que neste novo sistema a estrutura da multiplicação de números reais (positivos) se mantém inalterada? No próximo post vamos provar que sim, ou seja que (R_{>0}, \times) \cong (R, +)

Por enquanto vamos provar algumas consequências básicas da existência de isomorfismos entre grupos.

Algumas propriedades básicas de isomorfismos

Teorema 1: (Propriedades de isomorfismos)

Sejam (G, \circ) e (H, *) dois grupos, \phi : G \rightarrow H um isomorfismo e g \in G. Então:

  1. \phi(e_{G}) = e_{H} (a identidade de G é mapeada para a identidade de H)
  2. \phi(g^{n}) = {\phi(g)}^{n} para um inteiro n \in Z (e então em particular \phi(g^{-1}) = \phi(g)^{-1} – a inversa de um elemento é mapeada para a inversa da imagem desse elemento)
  3. G é abeliano se e só se H for abeliano.
  4. o(g) = o(\phi(g)) (isomorfismos preservam a ordem de um elemento)
  5. G é cíclico se e só se H for abeliano
  6. Se K \leq G , então \phi(K) = \{ \phi(k) | k \in K \} \leq H

Antes de demonstrar, porque não visualizar o que queres provar? O que este teorema afirma é que, sendo \phi qualquer isomorfismo de G para H, então, as identidades são mapeadas para elas sempre; que a inversa (ou qualquer potência de um elemento) é mapeada para a potência da imagem desse elemento; que a ordem de qualquer elemento num grupo é igual á ordem da sua imagem e que, se G tiver um subgrupo, então o subgrupo das imagens de todos os elementos nesse subgrupo é ele mesmo um subgrupo de H. (Lembra-te ainda que um subgrupo tem obrigatoriamente de conter a identidade! – repara na imagem)

Demonstração:

Todas estas proposições são fáceis de provar se usares o facto de que (G, \circ) é um grupo e então verifica todos os axiomas de um grupo. Para facilidade de notação, omite-se as operações binárias \circ e *, sendo óbvio pelo contexto: ab significa a \circ b se a, \ b \in G e significa a * b se a, \ b \in H. Repara ainda que todos os elementos de H podem (e são) escritos como a sua imagem da função \phi : G \rightarrow H, e como tal \phi(g) \in H \ \forall g \in G.

Para 1.) Usando o facto de que e_{G} e_{G} = e_{G} então \phi(e_{G} e_{G}) = \phi(e_{G}) \phi(e_{G}) = \phi(e_{G}) (I)  Como H forma um grupo e \phi(e_{G}) \in H, \phi(e_{G}) \phi(e_{G})^{-1} = e_{H} (II). Repara que as equações (I) e (II) são todas em H portanto, usando a regra do cancelamento, obtém-se que \phi(e_{G}) = e_{H}

Para 2.) Usando um argumento semelhante, se g^{n} \in G, então g^{-n} \in G então g^{n} g^{-n} \in G. (De facto, até sabemos que elemento é! g^{n}g^{-n} = g^{n-n}= e_{G}). Considerando então \phi(g^{n} g^{-n}) = \phi(e_{G}) = e_{H} (por 1.)) = \phi(g^{n}) \phi(g^{-n}) (visto que \phi é um isomorfismo). No entanto, como \phi(g^{n}) \in H, H sendo um grupo, tem-se que e_{H} = \phi(g^{n}) \phi(g^{n})^{-1}. Aplicando a lei de cancelamento, tem-se que \phi(g^{-n}) = \phi(g^{n})^{-1}

Para 3.) Se G é um grupo abeliano, tem se que \forall g, \ h \in G, gh = hg. Então \phi(gh)= \phi(g)(\phi(h) = \phi(hg) = \phi(h)phi(g) e então H é abeliano também. Provou-se que G abeliano \Rightarrow H abeliano.
Para provar o converso H abeliano \Rightarrow G abeliano, usa o mesmo argumento.

Para 4.) Basta reparar no seguinte: como \phi é uma função bijectiva, g^{n} = e \Leftrightarrow \phi(g^{n}) = \phi(e). Então \phi(g^{n}) \phi(g)^{n} = e_{H}. Ou seja, se o(g) = \infty então o(\phi(g)) = \infty e se o(a) = n (n \in N) então o(\phi(g)) = n. De qualquer modo, o(g) = o(\phi(g)).

Para 5.) Basta lembrar que se G é cíclico, G = \{e, g, g^{2}, ... , g^{n-1} \} (para ordem finita n) ou G = \{ e, g, g^{2}, ..., g^{-1}, ... \}. Para o caso finito, sabemos que \phi preserva a ordem, e que |H| = |G| ( pois \phi é uma bijecção). Para o caso infinito, a prova é semelhante.

Para 6.) Usando um pequeno corolário (que estou certo ser fácil de provar (1)), sabemos que, se K \leq G (K for um subgrupo de G), então, \forall g, \ h \in K, gh^{-1} \in K.Para provarmos que \phi(K) = \{ \phi(k) | k \in K \} é um grupo, temos então de provar que \forall \phi(k), \ \phi(h) \in \phi(K), \phi(k) \phi(h)^{-1} \in H. Então, considera \phi(kh^{-1}) = \phi(k) \phi(h)^{-1} = \phi(k) \phi(h)^{-1} (por 2.)), e então \phi(k)\phi(h)^{-1} \in \phi(K) e portanto \phi(K) \leq H. \square

________

(1) Tenta! Lembra-te que G é um grupo e que os seus axiomas se aplicam a todos os elementos, incluidos aos elementos de K. Isto implica que alguns axiomas sejam automaticamente verificados em K. Quais são os axiomas que precisam ainda de ser verificados? Mostra então que \forall k h \in K \Rightarrow kh^{-1} \in K é condição suficiente para que os restantes axiomas sejam verificados!

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