Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #15)

Este é o décimo quinto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. No post passado, começou-se a trabalhar o conceito de equivalência de grupos. Certos grupos, mesmo que sejam em operações diferentes, podem ter a mesma estrutura. Essencialmente, são o mesmo grupo, mas expressado em termos diferentes.

Vimos que se esse é o caso, a condição (suficiente) para que dois grupos (G, \circ) e (H,*) sejam equivalentes é que exista uma função bijectiva (0) \phi : G \rightarrow H tal que, para quaisquer elementos g, \ h \in G, \phi(g \cdot h) = \phi(g) * \phi(h). Quando tal mapa existe, dá-se-lhe o nome de isomorfismo e diz-se que G \cong H (G é isomórfico a H).

Alguns reparos a fazer sobre isomorfismos:

  • Que palavra estranha! Não te há de estranhar se souberes um pouco de Grego antigo: “iso” – o mesmo e “morphos” (forma). Não pode ser mais esclarecedor!
  • A definição exige a existência de uma função candidata. Não existe isomorfismos melhores ou piores. Se tiveres a intuição (e na maioria das vezes, é mesmo assim que o provas), ao provares  que respeita todas as condições, então está provado: os grupos são de facto isomórficos.
  • Obviamente que, pelo facto de que \phi : G \rightarrow H é uma função bijectiva, admite uma função inversa \phi^{-1} : H \rightarrow G tal que \phi^{-1}( \phi(g)) = g, \forall g \in G. Esta propriedade mostra que um isomorfismo é uma relação simétrica: isto é, se G \cong H \Leftrightarrow H \cong G.

 

 

 

Pequena digressão: relações de equivalência num conjunto

Porque será que se definem isomorfismos entre grupos, falando seriamente? Não é com certeza para se poder provar pontualmente que um grupo é estruturalmente igual ao outro. Se fores ambicioso no pensamento, então provavelmente hás de ter pensado nisto: será que se para três grupos (G, \circ), (H,*) e (K, \square) se se verificar que G \cong H e que H \cong K, se pode deduzir que G \cong K ? Em linguagem coloquial, isto parece óbvio: se a estrutura de G e H é a mesma, e a estrutura de H e K é a mesma, certamente que G partilha a mesma estrutura que K; mas em Matemática, não basta dizer que é “óbvio” – ser óbvio pela boca fora não é demonstração. Para quê ficar-se por menos? É possível provar.

A justificação é rápida: se te lembrares do que foi falado no post 7, sobre mapas, viu-se que a composição de uma bijecção com uma bijecção é uma bijecção. Ou seja: em três conjuntos A, \ B, \ C, se existir uma bijecção f : A \rightarrow B e uma bijecção g : B \rightarrow C existe (pelo menos) uma bijecção h = h \circ g (h após g), dada por h : A \rightarrow C, h(x) = g(f(x)). Ou seja, existe um isomorfismo de G \rightarrow K (prova que a composição de isomorfismos é um isomorfismo!) e então G \cong K. Esta propriedade chama-se de transitividade. Em suma, provou-se que as estruturas algébricas são transitivas em grupos.  Existe uma propriedade muito mais interessante no entanto. Vamos caricaturar um pouco.

 

Indo ao supermercado

Seguramente que um supermercado (que vamos assumir ter um stock limitado ao que tem na loja), não localiza cada produto individual. Por que o faria? O que realmente importa numa transacção é um certo tipo de produto – a sua marca, gama e, claro está, conteúdo. Quando chegas a uma prateleira, para efeitos de utilização, agarras numa embalagem aleatoriamente e pagas. Na caixa, vais ser cobrado por aquele tipo de produto, não importando que item em específico. Mesmo havendo defeitos de fabrico, uma caixa com a impressão mais desgastada ou com meio militro a menos de polpa de tomate, os produtos são classificados de acordo com este princípio:

  • Se um item qualquer , chama-o de A, corresponder a um produto, então esse item corresponde a ele mesmo.
  • Se um item qualquer , chama-o de A, corresponder ao mesmo produto que um outro item B, então B corresponde ao mesmo produto que o item A.
  • Se um item qualquer, chama-o de A, corresponder ao mesmo produto que B, e se B corresponder ao mesmo produto que C, então A corresponde ao mesmo produto que C.
  • Visto serem estruturalmente iguais, podemos usar tal facto para deduzir propriedades de um grupo através de um outro grupo que lhe é isomórfico.(1)

Para concretizar a ideia: quando compras um pacote de cereais, certamente que eles não são iguais. Não têm a mesma quantidade, a qualidade poderá variar, os seus prazos de validade podem ser diferentes e uma caixa pode já estar amachucada. No entanto, para o supermercado, tudo o que aquele produto é é um código de barras, que é unicamente criado para uma classe de produtos.
Ou seja, embora o pacote amachucado seja fisicamente diferente, aos olhos do consumidor e do vendedor é simplesmente um artigo com o mesmo valor que uma embalagem mais exemplar. O que estas propriedades precisam é isso mesmo:

  • Um pacote de cereais pertence à classe produto de cereais;
  • Se um pacote de cereais pertence a essa classe, então outro pacote de cereais pertence à mesma classe.
  • Se dois pacotes pertencem a essa classe de produto e um outro está relacionado a eles ele também pertence a essa classe.

Estas observações são tão patéticas que estarás a perguntar pela razão de tanta filosofia. A verdade é que estas três propriedades fizeram algo notável! Ao aplicares estas três propriedades ao conjunto de todos os items em stock, formaste certos “mini conjuntos” (que designei por produtos), de maneira a que tenhas particionado todos os items. Ou seja, dividiste o conjunto em subconjuntos mais pequenos que são todos disjuntos – não podes encontrar nenhum item que pertença a duas categorias; também, para todos os elementos, existe uma categoria que os contém.

 

Este conjunto, que assumimos ser o conjunto de todos os items em stock num determinado supermercado pode ser particionado se se encontrar uma relação de equivalência - em suma, uma relação em que se verifique aquelas três propriedades.
Provar que uma relação de equivalência particiona o conjunto é fácil! Tenta!

A ideia está lançada, é tempo de formalizar.

Definição 1: (Definição de uma relação de equivalência)

Uma relação de equivalência R (2) num conjunto S é uma operação binária tal que, para todo os elementos a, \ b, \ c \in S:

    (Reflexividade) a R a
    (Simetria) a R b \Rightarrow b R a
    (Transitividade) a R b e b R c \Rightarrow a R c

Uma classe de equivalência P, denotada por P = [a] = \{ b \in S | \ b R a \} (o conjunto de todos os elementos do conjunto que são equivalentes a a.

Alguns exemplos incluem:

  • No conjunto dos números inteiros Z, aplicar a relação “Paridade” induz uma relação de equivalência. Existem duas classes de equivalência, a classe dos pares e a classe dos ímpares. Repara como qualquer número inteiro pertence ou a uma ou a outra mas nunca aos dois.
  • No conjunto dos números reais R, a relação “ser maior ou igual a 1” induz igualmente uma relação de equivalência. (3)
  • Como já vimos neste post, no conjunto de todos os grupos, a relação de “Isomorficidade” induz uma relação de equivalência.

Toda esta digressão foi precisamente para fazer notar uma ideia:

Será que se consegue classificar grupos em classes que partilhem a mesma estrutura?

Repara na diversidade de diferentes estruturas em grupos que podem ser criadas. Como classificá-las?

 

A pergunta fascinou muitos algebristas e não foi há muito tempo que se provou um dos teoremas mais belos que conheço da Matemática: O Teorema de Grupos Abelianos Finitamente Gerados. A pergunta é uma pergunta genuinamente bela: em vez de ir encontrando um grupo, defini-lo pontualmente, a questão foca-se em conhecer a priori que tipo de estrutura se pode esperar de qualquer grupo de uma dada ordem.

Isso vai ser discutido no próximo post, juntamente com a demonstração de algumas propriedades de isomorfismos.
______

(0) Dá uma vista de olhos no post sobre mapas no post 7. Um artigo excelente do blog do Prof. Paulo Sérgio sobre funções bijectivas encontra-se aqui.

(1) Este truque por vezes salva-nos a vida nos trabalhos de Álgebra!

(2) Normalmente usa-se um til (~) para representar mas o \LaTeX anda a falhar! A notação R é mais antiga e encontro-a mais correntemente em livros dos anos 60.

(3) Mas a relação “ser maior que 5” não. Onde falha?

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