Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #14)

Este é o décimo quarto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Neste post vamos dar um pulo dos grandes. Estivemos a tratar de grupos e definir propriedades dentro do grupo. Será que é possível criar um formalismo que relacione vários grupos entre si? Como saber que dois grupos têm o mesmo número de elementos, como saber que dois grupos têm a mesma estrutura? Como criar novos grupos que trabalham e “desvendam” a estrutura do grupo inicial numa maneira ainda mais geral? Estas perguntas são pertinentes e, lentamente, vou ter a oportunidade de as responder.

 Álgebra é a mesma para um português e para um alemão

Este exemplo é bem interessante e ilustrativo daquilo que pretendemos fazer. (1) Supõe que o Pedro e o Jürgen, dois estudantes de Álgebra, sabem contar objectos. Enquanto o Pedro conta em “um, dois, três,..”, Jürgen conta em “ein,zwei, drei,…”. Será que eles estão a fazer algo fundamentalmente diferente? Sabemos que não: embora as designações sejam diferentes, o conceito é o mesmo. É então de esperar que se o conceito é o mesmo, então os resultados e operações nesses conceitos devem ser consistentes. Por isso é que sabemos que se o conceito de “um” e “dois” e o conceito de “ein” e “zwei”  são equivalentes, esperamos que o Pedro concorde com o Jürgen quando ele diz “ein und zwei ist drei” e que o Jürgen concorde com o Pedro quando ele diz que “um e dois são três”.

Já dei algumas pistas pelos posts sobre esta ideia: alguns grupos são idealizados, descritos e analisados, em circunstâncias e usos diferentes mas, por vezes, ao estudá-los, torna-se óbvio que eles representam a mesma estrutura.

 

Ás voltas e voltas

Se não pensaste nisto ainda, pensa neste exemplo: um grupo cíclico de ordem n foi introduzido pelas potências de um elemento. Como a ordem é finita, provámos no post passado que todos os elementos g^{k} com k <n \ k \in Z são elementos distintos. Obviamente que o “primeiro” elemento repetido acontece para k = n pois g^{0} = e = g^{n}. Da mesma maneira, vimos como k pode tomar valores negativos também (repara na definição de grupo cíclico no post passado). Vimos que g^{k} = g^{n-k}. Ao reparar-se na definição e na álgebra analisada no grupo R_{\frac{360}{n}^{\circ}} (o grupo de rotações de um polígono regular de n lados), não demora muito a observar semelhanças incríveis. É possível emparelhar todos os elementos numa correspondência única e provar que , mesmo com operações binárias diferentes, dois grupos diferentes podem representar a mesma estrutura.

Dois polígonos: um octógono e um pentágono. Repara nos eixos desenhados. Todos eles partem do centro geométrico até a um vértice ou a metade de cada lado. Repara que se usares os eixos partindo de cada vértice podes usá-lo como um eixo de simetria. (Algebricamente, como interpretar isto?) Se for esse o caso, cada rotação mantém a mesma configuração da figura (a forma da figura não se altera). Era este o objectivo de criar o grupo de rotações de um polígono. Repara então que o ângulo de rotação necessário é sempre da forma k \frac{360^{\circ}}{n} em que k é um múltiplo e n é o número de lados. Será que conseguimos ligar este grupo de rotações a grupos ciclos de ordem finita?

 

Qual a ideia? Sabemos que, para dois elementos g^{k}, \ g^{m} \ \in \ <g>, (em que |<g>| = n (ordem finita) , g^{k} \circ g^{m} = g^{r} com k + m = r \ (mod \ n).

Será que estes dois grupos, para referência (<g>, \cdot) e (Z, + \ mod \ n)) têm a mesma estrutura?

Ainda não podemos provar tal proposição, mas tudo parece indicar que sim. Repara:

  • A rotação g^{0} = e (que no post 5 determinámos como sendo a identidade do grupo na operação dada – composição de rotação) e o número 0 em Z parecem comportar-se semelhantemente, na sua respectiva operação binária:
    Para uma rotação qualquer h \in <g> g \circ e = g (não rodar nada e rodar por h é igual a rodar por h)
    Para um número inteiro relativo x \in Z, 0 + z = z \ (mod \ n ) (somar um número qualquer a nada em módulo n é o mesmo que esse número em módulo n).
  • Se para um certo elemento g^{k} = e (uma rotação g aplicada k vezes ser igual a não rodar nada) então g^{k}=g^{2k}=g^{3k}=...=g^{nk}=e, e  para um elemento n \in Z n = 2n = 3n = 4n = ... = mn = 0\ (mod \ n)
  • A ordem de (<g>, \circ) é k (Os seus elementos são \{ g^{0},g^{1},g^{2},...,g^{k-1} \})
    A ordem de (Z, + \ (mod \ n)) é n, que é igual a k  (Os seus elementos são \{0,1,2,...,k-1 \}
  • … e mais!

Se quiseres ver que a maneira como todos os elementos se relacionam é essencialmente a mesma, podes criar uma tabela de Cayley. Para isso listas todos os elementos na direcção da coluna e na direcção da linha e defines um sentido da operação (lembra-te, as operações não são em geral comutativas!). A intersecção da linha e coluna de certos elementos representa o seu produto no grupo.

Repara com um exemplo:

Repara nesta tabela de Cayley para os elementos \{ e,a,b,c \} e nos seus produtos. Consegues dar um exemplo de uma operação binária que pode representar estes resultados? Consegues visualizar os axiomas de um grupo nesta tabela?

Da mesma maneira que não basta dizer que “ein” representa o mesmo que “um”, há que provar que o que “ein” produzir, “um” também produz. Ou seja, há que criar um conceito que verifique que as operações “mantêm o significado” destes dois elementos, aparentemente semelhantes.

Repara nesta imagem:

Dois grupos, G e H, com operações binárias \circ e * respectivamente. g e h são dois elementos arbitrários de G; como G é fechado, o seu produto g \circ h está em G também. O mapa \phi é uma função bijectiva. Logo, para cada elemento em G , existe um e só um elemento em H que é mapeado a ele (injectividade) e para todo os elementos em H existe um e só um elemento em G que mapeia para eles mesmo (sobrejectividade). Então, dois elementos \phi{g} e \phi{h}, como estão em H, formam o seu produto \phi{g} * \phi{h} também em H. Para que G e H sejam estruturalmente iguais, tem de existir uma função bijectiva com uma propriedade especial. Vamos ver isso num momento.

 

Lê a legenda, que explica o que a notação significa. Se não te lembras da definição de um mapa bijectivo, injectivo e/ou sobrejectivo, dá uma olhada neste post.

Bem, tendo em conta tudo o que foi definido, para que os dois grupos tenham a mesma estrutura, o mapa \phi tem de mapear g \circ h para \phi(g \circ h). O truque vem agora: este elemento de H tem de ser o mesmo que o \phi(g)* \phi(h) ! Pensa nisso, faz sentido.

Este mapa é importante e tem um nome especial: trata-se de um isomorfismo.

Definição 1: (Definição de um isomorfismo)

Sejam G e H dois grupos com operações binárias \circ e * respectivamente. Então um isomorfismo \phi é um mapa bijectivo (um para um) de G \rightarrow H (matematicamente escreve-se : \phi : G \rightarrow H ) tal que, para todos os elementos g, \ h \in G, \phi(g \circ h) = \phi(g) * \phi(h)

Se tal mapa existir, então diz-se que os grupos G e H são isomórficos (e então eles são essencial e estruturalmente semelhantes. Quando tal acontece escreve-se G \cong H.

No próximo post vamos dar exemplos de grupos isomórficos e mostrar algumas propriedades básicas que se verificam em isomorfismos!

______________
(1) Adaptei-o do livro Contemporary Abstract Algebra do Joseph Gallian.

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