Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #13)

Este é o décimo terceiro post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. No post passado, introduziu-se o conceito de grupo cíclico: um grupo em que todos os seus elementos são gerados por um certo elemento. Gerado neste sentido implica que se aplique a operação binária repetidamente a esse elemento até que se crie todos os elementos do grupo.

Sem mais demoras, mostram-se alguns exemplos:

  1. (Z,+). Este exemplo foi dado no post passado. Os seus geradores  são os elementos 1 e -1, ou seja <1> = <-1> = Z, pois para qualquer número n \in Z, \underbrace{1+1+...+1+1}_{n \ vezes} ou \underbrace{(-1)+(-1)+(-1)+...+(-1)}_{|n| \ vezes}.
  2. (Z_{n}, + \ mod \ n). Este grupo (1), que relembro por conveniência ser Z_{n} = \{0,1,2,3,...,n-1 \}, é também gerado por 1 e por -1. Neste caso -1 = n-1 (melhor dizendo, são congruentes em módulo n).

Grupo cíclico de ordem 7

Mais um tipo de grupo: os grupos U(n)

(U_{n}, + \ mod \ n). Este grupo é novo mas fácil de entender. O conjunto U_{n} é definido como o conjunto de todos os números inteiros positivos que são coprimos a n. Isto quer dizer que não possuem nenhum factor em comum excepto 1. Como exemplo, U(10) = \{1,3,7,9 \}.

Repara algo! U(10) = \{1,3,7,9 \} = \{ 3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3} \} = \{ 7^{0}, 7^{1}, 7^{2}, 7^{3} \} . Ou seja, 3 e 7 geram U(10).  No entanto, podes calcular com todos os elementos de U(8) todos os seus elementos gerados que pertencem a U(8) e reparar que não há nenhum gerador para U(8): não é cíclico.

Como curiosidade: qual é a cardinalidade de um grupo U(n)? A questão fascinou o grande matemático Leonhard Euler que fez estudos intensivos neste tipo de grupos e nesta questão tão importante em Teoria de Números. Definiu a função totiente de Euler, que , para um certo número n calcula o número de números positivos inteiros menores que n tal que eles sejam coprimos entre si (ou seja, o seu maior divisor comum ser um). Mais sobre a função totiente aqui.

Para os primeiros 100 elementos, parece haver um certo padrão!

Algumas propriedades em grupos cíclicos

Vamos provar que isto não é coincidência. A pergunta natural de se fazer para um grupo cíclico haverá de ser: será possível que dois elementos g, \ h \in G com a mesma representação? A resposta parece ser intuitiva. Um exemplo: no grupo de rotações de um quadrado por 90º, vimos que a^{4} = e. No entanto é óbvio que dando mais uma volta (ou seja, rodando mais 4 vezes), o resultado tem de ser o mesmo: a^{4} = a^{8} = e. Será que é sempre assim? Vamos provar que não.

Teorema 1: (O critério g^{m} = g^{n})

Seja G um grupo e g \in G e <g> o subgrupo cíclico gerado por g. Se o(g) = \infty.  Então todas as potências distintas de g são elementos distintos em G. Se o(g) = q com q \in N, então <g> = \{ g^{0}, g^{1}, g^{2}, ... , g^{n-1} \} e g^{m} = g^{n} se e só se (sse) q divide m-n.

Demonstração:

Para o caso infinito é fácil: se a ordem de g é infinita, não existe nenhum número u \in N tal que u^{n} = e. Como para qualquer elemento a \in G, a^{0} = e, este é o único número que iguala uma potência de g à identidade.

Assume então que g^{m} = g^{n}. Então g^{m-n} = e o que implica que m-n=0 pelo comentário acima. Tem-se então que m=n.

Corolário 1:

Se dois elementos num grupo cíclico de ordem infinita são diferentes então as suas potências são necessariamente diferentes.

Exemplo: em Z, como <1> = Z e |Z| = \infty, se n(1) = m(1) então n \neq m. Isto oferece uma justificação pela qual todos os elementos em Z são diferentes.

Assume agora que a ordem de g é finita : o(g) = q. Vamos provar que para todos os elementos g^{k} com k < q, são também distintintos. Pois se  g^{m} = g^{n}, com m, \ n < q e m \neq n então g^{m-n} = e; mas isso contrariaria a minimalidade da ordem de g: lembra-te, n é definido como o menor número natural tal que g^{n} = e. Logo todos os elementos g^{k} com k < q são distintos.

Esta demonstração trata de elementos da forma g^{k} com k < q. Por definição g^{q} = e. Supõe que k > q. Pelo Algoritmo Euclidiano, todo o número inteiro k \in Z pode ser escrito como k = Nq + r, em que N, \ q, \ r \in Z com r < q. Estes números são chamados de quociente e resto, respectivamente.

Sabe-se então que k = Nq + r Logo g^{k} = g^{Nq+r} = g^{Nq} \cdot g^{r} = (g^{q})^{N} \cdot g^{r} = e \cdot g^{r}.

Exemplo Z_{12} (no nosso sistema de tempo, sabemos que 14 = 2 pois 14 = 12 +2 portanto, como 1 gera o grupo e 14 > 12, sabemos esse elemento tem de ser igual a um elemento \{ 0,1,2,3,...,11 \}.

Como corolário final:

Corolário 2:

Se num grupo G, um elemento g \in G, com ordem o(g) = n e se para qualquer k \in Z, g^{k} = e então n | k (n divide k).

O que acabámos de provar é, a meu ver, mágico. De certa maneira provámos que a “geometria” de uma linha e de um círculo são diferentes: “provámos” que um circulo não pode ser topologicamente homeomórfico a uma linha. É quase como dizer que uma linha é um círculo em que o seu raio é infinito, tal que o primeiro ponto nunca una ao final!

_________
(1) É routineiro provar que este par forma um grupo. Tenta!
(2) Para provar este é preciso um pouco de mais engenho mas como pistas dou que \forall g, \ h \in Z_{n}, g + h \ (mod \ n) = g \ (mod \ n) + h \ (mod \ n) e g \times h \ (mod \ n) = g \ (mod \ n) \times h \ (mod \ n).

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1 comentário a “Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #13)”

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