Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #12)

Este é o décimo segundo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Nos posts anteriores, introduziu-se a definição da ordem de um elemento num grupo e a ordem de um grupo.

Embora tenham o mesmo nome, estes conceitos são diferentes:

  • A ordem de um elemento g \in G é o menor número inteiro (positivo) n tal que $latex\underbrace{g \cdot g \cdot g \cdot … \cdot g^}_{n \ vezes} = e_{G}$. Nem sempre é possível encontrar tal número, razão pela qual se associa a ordem infinita. Como reparo, a ordem de um elemento geral de um grupo é 1 se e só se esse elemento for a identidade.
  • A ordem de um grupo (conjunto com operação binária), denotado por |G|, referente ao número de elementos no grupo. Se o grupo for infinito, diz-se que |G| = \infty

Estas ideias vão dar certas pistas vitais para compreender como qualquer grupo se comporta estruturalmente, e o que a sua estrutura pode dizer sobre os seus subgrupos. Para começar, vamos definir algo que vai ser muito útil: um gerador de um grupo.

Definição 1: (Definição de um gerador de um grupo)

Um grupo G gerado por g, denotado por <g> corresponde ao conjunto de todos os elementos g^{k} com k \in Z.

O que quer isto dizer? Fixa um elemento de um grupo G, chama-o de g.
Então <g> = \{ g^{k} | k \in Z \} \{ ...,g^{-3},g, g^{-2}, g^{-1}, g^{0},g^{0},g, g^{2}, g^{3}, ... \}. Ou seja, este grupo é um grupo especial: qualquer elemento é uma potência de um certo elemento g. Repara: por potência eu refiro-me à repetição da operação e não da multiplicação.

Com isto, se \cdot for a operação binária de um conjunto G, então g \cdot g = g^{2}. Isto lê-se “g ao quadrado” mas não significa que se multiplicou o elemento  por ele mesmo, mas que se aplicou a operação \cdot duas vezes ao mesmo elemento. Por indução:

\underbrace{g \cdot g \cdot ... \cdot g}_{n \ vezes} = g^{n}

Ou, em notação aditiva

\underbrace{g + g + ... + g}_{n \ vezes} = ng

Assume-se ainda que

g^{1} = g    \forall g \in G

e que

g^{0} = e \ \ \forall g \in G

Recursivamente, tem-se que

g^{n} \cdot g = g^{n+1}

E como consequência

g^{n} \cdot g^{-n} = g^{n-n} = g^{0} = e e então, pela unicidade da inversa, tem-se que (g^{n})^{-1} = g^{-n}

Repara ainda que este grupo é abeliano pois a \cdot b = g^{n} \cdot g^{m} = g^{n+m} = g^{m+n} = g^{m} \cdot g^{n} = b \cdot a
Obviamente que nem todos os grupos tem esta propriedade, mas quando a têm, dá-se um nome especial. Em breve veremos que este tipo de grupos são os blocos fundamentais de qualquer grupo abeliano finitamente gerado, mas isso ainda vai demorar!

Definição 2: (Definição de um grupo cíclico)

Um grupo G no qual exista um elemento g que gere esse mesmo grupo (ou seja, que \forall h \in G h = g^{k}, para um certo k \in Z ) chama-se de grupo cíclico.

Regressando aos subgrupos

Vimos no post 10 que subgrupos eram simplesmente subconjuntos de um grupo que, quando munidos da mesma operação binária que o seu conjunto maior, formavam por si um grupo. Como exemplos, têm-se os números pares ou os números ímpares dentro dos números inteiros relativos (Z) ou o subgrupo de rotações de um quadrado por 180^{\circ} dentro do grupo de rotações de um quadrado por 90^{\circ}.

O primeiro teorema deste post serve para, pelo menos, mostrar que existe sempre pelo menos um tipo de subgrupo não trivial (ou seja, sem ser G e \{ e \}).

Teorema 1 : (Existência de um grupo não trivial)

Seja G um grupo e g um elemento arbitrário de G. Então < g > é um subgrupo de G, ou seja < g > < G

Demonstração:

Considera <g>. Claramente que $<g>$ não é vazio, visto que g \in <g>. Como G é um grupo, o produto a \cdot a = a^{2} \in G, visto que a operação tem de ser fechada. Este processo pode ser feito recursivamente para qualquer número n \in Z. Deixa que g^{n} e g^{m} \in <g>. Então (g^{m} \cdot g^{n})^{-1} = g^{-n} \cdot g^{-m} e portanto para todo o elemento a sua inversa está no grupo. Rapidamente se verifica que estas condições forçam <g> a ser um subgrupo de G. \square

Se se assumir que o elemento que gera o grupo G, chama-o de g tiver ordem finita, então haverá um número finito (chama l) tal que g^{l} = e. Isto não pode acontecer para ordens inferiores a l. Pela unicidade de inversas dentro do grupo, isto implica que todos os elementos \{e,g, g^{2}, g^{3}, ... , g^{l-1} \} sejam todos diferentes e portanto o grupo seja “fechado”. Repara no grafo. Com esta imagem podemos provar muitos teoremas sobre estes grupos.

Exemplo: O conjunto Z com a operação binária + é um grupo cíclico. Que geradores geram este grupo?

<1> = \{ 1, 1+1, 1+1+1,... \} = \{...,-1,0,1,2,3,...,n\}

Ou seja, para qualquer elemento n \in Z

\underbrace{1+1+...+1}_{n \ vezes} = n

Do mesmo modo, <-1> gera o grupo (Z,+) pois

\underbrace{(-1)+(-1)+...+(-1)}_{n \ vezes} = -n

Ou seja, em geral se <g_{1}> = G e se <g_{2}>=G, g_{1} \neq g_{2}.

Se te relembrares do grupo de rotações por 90º de um quadrado, introduzido neste post, podes reparar que este grupo tem esta mesma estrutura! Qualquer configuração de rotação é sempre uma “potência” de uma certa rotação, chama de a (pode ser uma rotação de 90º no sentido positivo ou negativo).

No próximo post vamos falar do centro de um grupo, provar algumas propriedades únicas em grupos cíclicos e ainda introduzir o conceito de morfismos entre grupos.

_____
(1) Esta prova é facílima:
Repara: assume que g \in G e que o(g)=1. Então g^{1}= g = e e então g só pode ser a identidade.
Assume agora que g = e \in G. Então g^{1} = g = e e como 1 = inf \{ k \in N | g^{k} =e \} e então o(g) = o(e) = 1 ( Relembra que, se A for um conjunto, inf(A) denota o elemento mínimo de tal conjunto. Esta definição é muito vaga e quase inútil: existem muito poucos conjuntos que são bem-ordenados).

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