Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #2)

No post introdutório, foram introduzidas certas definições básicas, mais relevantemente a definição de um vector, assim como duas operações que podem ser operadas entre vectores: a sua adição e a sua multiplicação por um escalar (uma constante, como 1, \frac{2}{3} ou - \pi ou mesmo 0). Graficamente, estas operações podem ser vistas como:

  • Adição de vectores: a Regra do Paralelogramo, explicada no post passado
  • Multiplicação por um escalar: Mantendo a direcção do vector inicial, multiplicar o comprimento do vector pelo respectivo escalar.

  • Adição de vectores no plano                           Multiplicação de um vector por um escalar

Existem mais operações que possam ser definidas entre vectores? A resposta é obviamente afirmativa, mais quais? A próxima operação que será definida é criada a partir destas duas operações: trata-se da subtracção de vectores.

Subtracção de Vectores

A ideia é fácil: para definir a subtracção \vec{A} - \vec{B}, tudo o que há a fazer é reparar que \vec{A} - \vec{B} =\vec{A} + (- \vec{B}). Isto quer dizer que, antes de aplicar a adição, se multiplica o vector \vec{B} pelo escalar k = -1 (que o faz reverter o seu sentido, com o mesmo comprimento) e depois aplicar a Regra do Paralelogramo ou método equivalente aos vectores \vec{A} e \vec{-B}

O método é bastante semelhante à Regra do Paralelogramo, mas agora toma-se o segundo vector por \vec{-B}

Propriedades das operações

Como consequência das definições, podemos ver que:

  • A adição de vectores é comutativa, ou seja, para dois vectores \vec{A},\vec{B}, tem-se que \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}
  • A adição de vectores é associativa, ou seja, para três vectores \vec{A},\vec{B},\vec{C}, tem-se que \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = ( \vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} (1)

Multiplicação de Vectores:

Onde as coisas se tornam interessantes

Definimos a multiplicação de um vector por um escalar (uma constante) e essa operação pareceu ser suficientemente simples; mas como definir a multiplicação entre dois vectores? Essa questão não é tão simples e as operações que são definidas podem não parecer as mais intuitivas pelo momento, mas elas têm uma razão (2)

Existem vários tipos de multiplicação de vectores: ficarias fascinante com o número deles! Produto escalar, produto vectorial, triplo produto escalar e triplo produto vectorial, produto de tensores em dois espaços vectoriais sobre um campo K, produto directo de grupos, módulos, anéis ou espaços topológicos,  tantos mais! Há que começar pelos mais intuitivos e necessários. Segue-se o produto escalar.

Produto Escalar \vec{A} \cdot \vec{B}

Este produto, tal como o nome indica, retorna como resultado um escalar, ou seja um número. A ideia intuitiva do produto escalar é de projectar um vector sobre o outro. Repara na figura:

Nesta figura, o vector \vec{B} tem uma projecção natural de ser feita: projectá-lo sobre o vector \vec{A}. Esse vector está mais escuro e sobre \vec{A}. De Trigonometria, sabe-se que essa distância é simplesmente |B|\cos{\theta}, onde |B| representa o comprimento de \vec{B}. Como definir a direcção desse novo vector, para que fique alinhado com \vec{A} ?

A solução é criar um produto que dê uma relação de “quanto se vai projectar”. Claramente que:

  • Se os vectores forem perpendiculares, a projecção é nula.
  • Se os vectores forem iguais, a projecção é “máxima”
  • Se os vectores fizerem um ângulo \theta menor que 90^{\circ} (que são \frac{\pi}{2} radianos) a projecção vai ser positiva (mesmo sentido do vector para qual o restante vai ser projectado).
  • Se os vectores fizerem um ângulo \theta maior que 90^{\circ} (que são \frac{\pi}{2} radianos) a projecção vai ser negativa.

Mais sobre o produto escalar no próximo post.

Considerações futuras e para o próximo episódio:

Embora possa parecer “engraçado mas ultimamente fútil” o que está a ser apresentado, a verdade é que a generalização de vectores a espaço mais abstractos tem sido de utilidade única. A Física deve muito ao conceito de vectores desde Mecânica a Física de Campos, passando até por construções de sistemas complexos. Um exemplo em Física de Estado Sólido, os modelos de certos cristais ou aglomerados moleculares são bastante complicados de modelar e eles possuem características como o seu dipolo magnético, spin ou momento angular até. Calcular o efeito de biliões e biliões destas pequenas partículas num sistema estruturado pode ser um trabalho e tal! Simplificando vários sistemas a uma soma (superposição) de observáveis garante que se perceba melhor a estatística macroscópica do sistema e que se possam medir propriedades gerais do material.

Este trabalho que encontrei trata de um reticulado de spin-1 usando moléculas polares e o seu modelo baseia-se nestas quantidades por ponto do reticulado, normalmente vectoriais. Análise Vectorial ao socorro!

Esta introdução é uma introdução que se quer intuitiva. Não há formalismo matemático nenhum, mas para quem perceber mais, há a considerar duas coisas fundamentais:

  • O espaço onde estes vectores existem. Será que pertencem a um espaço R^{n}, C^{n} ou mesmo K_{n}, onde R,C,K representam respectivamente o conjunto dos números reais, complexos e um corpo geral? (3)
  • Há que verificar a existência de identidades e inversas para as duas operações adição e multiplicação escalar tais que as duas operações sejam fechadas e possíveis de serem feitas no espaço considerado. Quanto tal acontece, diz-se que o conjunto de todos os vectores V forma um espaço vectorial. Mais em Álgebra Linear, em breve.

Para definirmos estas operações que já foram introduzidas de uma maneira rigorosa (até agora apenas mostrei o lado geométrico de todas elas), vamos debruçarmo-nos sobre sistemas de coordenadas, no próximo post. Só tendo essa noção podemos concretizar estas ideias e provar as propriedades que disse serem verificadas e perceber a próxima (e ultima operação multiplicativa) que vou falar – o produto vectorial entre dois vectores \vec{A} \times \vec{B} ou \vec{A} \wedge \vec{B}

_________________
(1) Mesmo que ainda não tenhamos provado (mas vamos!), tenta desenhar três vectores no plano e repara que a propriedade é verificada.
(2) Isto tem a ver principalmente com uma definição tal que garanta uma operação inversa consistente com a descrição de um grupo. Mais em grupos aqui.
(3) Mais em corpos neste post.

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