Análise Matemática – Introdução a Análise Vectorial (Post #1)

Este é o primeiro post da série em Análise Vectorial.

Se calhar já leste o 2º post em Electricidade e Magnetismo, onde faço referência a esta parte da Matemática. A Análise Vectorial fornece algumas das ideias mais ofuscantes que podem ser usadas em Física ou Engenharia. É normalmente uma daquelas cadeiras que os alunos até gostam mais de fazer, visto que é um tanto menos abstracta e mais real, ao poder-se, na maioria dos casos, visualizar-se.

O que pretendo fazer é, se certa forma, Cálculo Vectorial do que propriamente Análise Vectorial: a nossa introdução será baseada em conceitos simples e os resultados raramente serão provados. Para isso vais ter de esperar por Análise Complexa daqui a uns meses!
Esta série estará concentrada em três partes essenciais:

  1. Operações Elementares de Vectores : onde definirei operações básicas como a adição, subtracção de vectores, multiplicação por um escalar e generalizações da multiplação de números a vectores! Trata-se do produto escalar e do produto vectorial. Com estes, pode-se criar mais dois tipos de multiplicação mista: o produto escalar triplo e o produto vectorial triplo.
  2. Operadores Diferenciais: onde tratarei de operadores, que são um tipo de funções que transformam vectores em vectores, ou vectores em escalares. As que vou usar serão de cariz diferencial e são, de certa forma, uma generalização da derivada e primitiva de um campo vectorial ou escalar (em vez do que se faz no plano, que é o mais habitual)
  3. Teoremas e Identidades: onde apresentarei resultados muito úteis e intuitivos que podem ser provados e que são de extrema importância em Física de Fluidos, Mecânica Quântica ou mesmo Electricidade e Magnetismo.

Começando pelo princípio: o que é um vector

 

O conceito de vector é daqueles em que, mais que definir, é necessário perceber o que acontece quando usado. Isto acontece porque vectores são realmente generalizações de números a dimensões mais altas. Normalmente é definido como um objecto que contém um valor (intensidade) e uma direcção. A palavra vem do latim e significa “transportar”. Aqui está a ideia básica do que um vector faz: Transporta um ponto A para outro ponto B.

 

 

Notação

Para se definir um vector rigorosamente, há que saber exactamente que deslocação se trata. Se no exemplo acima o vector \vec{AB} estivesse um milionésimo de grau mais inclinado, este vector não seria o mesmo que o inicial. Isto será tratado com a introdução de sistemas de coordenadas.
Como denotar que o objecto que estamos a trabalhar é um vector? Existem várias notações, sendo as mais usadas:

  • \vec{AB}, lendo-se “o vector de A para B”. Nesta notação é assumido que se conhecem os pontos de origem e destino do vector. Não é muito utilizada pois, como verás, esta ideia de vectores é mais pedagógica do que útil em Matemática.
  • \vec{u}, lendo-se “o vector u”. Ou seja, colocando uma seta por cima de uma variável denota que a mesma é de natureza vectorial. Esta é mais abstracta, pois não refer nenhum ponto ou facto sobre o vector. É apenas uma variável livre.
  • \underline{u}, sendo basicamente a mesma notação que a anterior mas mais fácil de escrever. Não é muito desejável desenhar 20 setas para determinar um fluxo eléctrico! Esta notação é mais usada em exercícios ou notas.
  • \textbf{u}. Esta notação é mais usada em livros ou Matemática formal.

A próxima questão: agora que há uma definição razoável do que um vector é, o que posso fazer com eles? Como posso associar um vector a outro, que operações posso eu criar que sejam consistentes?

Por imagens o que é simples demais para escrever

Sem me alongar muito na definição das  operações que serão usadas extensivamente, que haverei de trabalhar nos próximos posts, repara no que acontece em cada um destes dois processos. O primeiro é chamado de adição de vectores e o segundo de multiplicação por um escalar. Repara como, se aplicares os algoritmos que sugiro a vectores que são “números” (por cima dos números reais) os resultados são consistentes com multiplicação de números e com a adição de números!

Adição de Vectores

Esta faz sentido. Ao ter definido dois vectores \vec{A} e \vec{B}, será que é possível definir a sua soma (representada por \vec{A+B})? Que tipo de objecto se trata? Repara na imagem:

Isto permite dizer que: \vec{A} + \vec{B} = \vec{A+B}

Multiplicação por um escalar

 

Esta operação faz com que o vector se mantenha na mesma direcção, mas com que o seu comprimento seja alterado por um factor. Este factor é normalmente um número natural, racional, real… Não há nada que impeça a operação de ser realizada sobre os números complexos! É possível definir i \vec{A}, i = \sqrt{-1}! Isto requer mais abstracção, mas fica como reparo.

Isto permite dizer que: k \vec{A} = \vec{kA} para um escalar k.

 

 

 

 

No próximo post vamos falar mais sobre estas operações e introduzir uma que não trabalha tão bem por analogia como estas duas que acabei de definir: o produto escalar. Acontece que não se pode simplesmente definir multiplicação de vectores da mesma maneira que escalares e por isso há que criar alternativas.

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